实用标准小升初奥数—排列组合问题一、 排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（ 1）七个人排成一排；（ 2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（ 3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间 .（ 4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（ 5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（ 6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（ 7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排解析】 （ 1） P775040（种） 2）只需排其余6 个人站剩下的6 个位置． P66720 （种） .（ 3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6 个位置． 2× P66=1440( 种 ) ．（ 4）先排两边，再排剩下的 5 个位置， 其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2 P55240( 种)．（ 5）先排两边， 从除小新、 阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P2P5 2400（种） .55（ 6）七个人排成一排时， 7 个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7 个元素的全排列．P775040（种） .（ 7）可以分为两类情况： “小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2 即可． 4× 3× P55 × 2=2880( 种 ) ．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
例2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0 数码组成，且四个数码之和是9 ，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非 0 数码之和等于9 的组合有1， 1， 1，6； 1， 1， 2， 5； 1， 1， 3， 4； 1， 2， 2， 4； 1， 2， 3，3； 2， 2，2， 3 六种第一种中， 可以组成多少个密码呢？只要考虑6 的位置就可以了，6 可以任意选择4 个位置中的一个，其余位置放1，共有 4种选择；第二种中，先考虑放2 ，有 4 种选择，再考虑5 的位置，可以有3 种选择，剩下的位置放1，共有4 3 12( 种 ) 选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12 种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3 的位置有4 种选择，其余位置放2 ，共有 4 种选择．综上所述， 由加法原理， 一共可以组成 412121212456 ( 个 ) 不同的四位数， 即确保能打开保险柜至少要试56 次．【例3】 一种电子表在6 时 24 分 30 秒时的显示为6:24 ： 30，那么从8 时到 9 时这段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设 A: BCDE 是满足题意的时刻，有A为 8， B、 D应从 0， 1， 2， 3， 4，5 这 6 个数字中选择两个不同的数字， 所以有 P62 种选法， 而 C、E 应从剩下的7 个数字中选择两个不同的数字，所以有 P72 种选法，所以共有 P2 × P2 =1260 种选法。
67从 8 时到 9 时这段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有1260 个例4】 4 名男生， 5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴ 甲不在中间也不在两端；文档实用标准⑵ 甲、乙两人必须排在两端；⑶ 男、女生分别排在一起；⑷ 男女相间．【解析】 ⑴ 先排甲， 9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的 8 个人随意排，也就是 8 个元素全排列的问题，有 P88876 54321 40320 ( 种 ) 选择．由乘法原理，共有 640320241920 ( 种 ) 排法．⑵ 甲、乙先排，有P222 1 2( 种) 排法；剩下的7个人随意排，有P77765 432 1 5040 ( 种 ) 排法．由乘法原理，共有25040 10080 ( 种 ) 排法．⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P222 12 ( 种 ) 不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与 5 个元素的全排列问题，分别有P44432 124(种)和 P55543 21 120 ( 种) 排法．由乘法原理，共有224 120 5760 ( 种) 排法．⑷ 先排4名男生，有 P44432124( 种) 排法，再把 5名女生排到 5 个空档中，有P55543 2 1 120 ( 种 ) 排法．由乘法原理，一共有241202880 ( 种 ) 排法。
例5】 一台晚会上有6 个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴ 当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？⑵ 当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】 ⑴ 先将4个舞蹈节目看成1 个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有P777! 76 5 43215040 ( 种 ) 方法．第二步再排 4 个舞蹈节目，也就是 4个舞蹈节目全排列的问题，有P444!4 3 2 1 24(种)方法．根据乘法原理，一共有5040 24 120960 ( 种 ) 方法．⑵ 首先将 6 个演唱节目排成一列( 如下图中的“□”) ，是 6 个元素全排列的问题，一共有66! 65 432 1 720(种)方法．P6×□×□×□×□×□×□×第二步，再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或2 个演唱节目之间 ( 即上图中“×”的位置 ) ，这相当于从 7 个“×”中选4 个来排，一共有P747 6 5 4 840(种)方法．根据乘法原理，一共有720840 604800 ( 种 ) 方法。
例6】 ⑴从 1， 2， ， 8 中任取3 个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）⑵从 8 位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？⑶ 3 位同学坐 8 个座位，每个座位坐1 人，共有几种坐法？⑷ 8 个人坐 3 个座位，每个座位坐1 人，共有多少种坐法？⑸一火车站有 8 股车道，停放 3 列火车，有多少种不同的停放方法？⑹ 8 种不同的菜籽，任选3 种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】 ⑴ 按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8 个数字（ 8 个元素）取出 3 个往上排，有P83 种．⑵ 3 种职务 3 个位置，从8 位候选人（ 8 个元素）任取 3 位往上排，有 P83 种．⑶ 3 位同学看成是三个位置，任取8 个座位号（ 8个元素）中的 3 个往上排（座号找人） ，每确定一种号码即对应一种坐法，有P83 种．⑷ 3 个坐位排号 1， 2， 3 三个位置，从8 人中任取3种．3 个往上排（人找座位） ，有 P8⑸ 3 列火车编为 1， 2， 3 号，从 8 股车道中任取 3 股往上排，共有 P83 种．⑹土地编 1， 2， 3 号，从 8 种菜籽中任选 3 种往上排，有 P83 种。
例7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8 个小组，每组6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8 个小组产生的前 2名共 16人再分成 4个小组，每组 4人，分别进行单循环赛； 第三阶段： 由 4 个小组产生的 4 个第 1名进行 2场半决赛和2 场决赛，确定1至 4 名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？文档实用标准【解析】 第 一阶段中，每个小组内部的6 个人每2 人要赛一场，组内赛C626515 场，共8 个小组，有2115 8 120场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛2436场，共4个小4C21组，有6 424 场；第三阶段赛224场．根据加法原理，整个赛程一共有120244 148 场比赛例8】 8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个。