小学数学六年级知识点：等积变形1.等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 S : S =a : b1 2③夹在一组平行线之间的等积变形，如图；ACD BCD反之，如果 S =S ，则可知直线 AB 平行于 CD ．ACD BCD④等底等高 两个平 四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比．2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在 △ ABC 中，D, E 分别是 AB , AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上)， 则 S : S =( AB ´AC ) : ( AD ´AE )△ ABC △ ADE3.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：① S : S =S : S 或者 S ´S =S ´S ② AO : OC =(S+S ):(S+S )1 2 4 3 1 3 2 4 1 2 4 3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可 以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对2 2 应的对角线的比例关系．DAS2S1OS4S3BC梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：① S : S =a1 32: b2② S : S : S : S =a 2 : b 2 : ab : ab ； 1 3 2 4③ S 的对应份数为 (a+b)2．4.相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型AEF DADFEBGCB G C①AD AE DE AF= = = ；AB AC BC AG② ： =AF : AG ．ADE ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样 改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线 AO 和 BC 相交于 D（有四种情形），则有S : S =BD : DC DABO DACO在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 S : S =BD : DC ．DABO DACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 DABO 和 DACO 的形状很象燕子 的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的 特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提 供互相联系的途径.AFEBOD C例 1：如图，正方形 ABCD 的边长为 6， AE =1.5， CF =2．长方形 EFGH 的面积为．分析：连接 DE，DF，则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍． 三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S△ DEF=6 ´6 -1.5 ´6 ¸2 -2 ´6 ¸2 -4.5 ´4 ¸2 =16.5,所以长方形 EFGH 面积为 33．B 2 2D EHB DBHF DDHGD AHB DCHB DCHD例 2：长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点， 问阴影部分面积是多少？A H DE GF C分析：解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图：AH DE G可得：SDEHB=12SBDAHB、F C1 1 S = S 、 S = SDFHB DCHB DDHGDDHC，即而 S =S +S +S =36ABCD DAHB DCHB DCHD1 1S +S +S = ( S +S +S ) = ´36 =182 2；而 SDEHB+SDBHF+SDDHG=S阴影+SDEBF，SDEBF1 1 1 1 1= ´BE ´BF = ´( ´AB) ´( ´BC ) = ´36 =4.5 2 2 2 2 8．所以阴影部分的面积是：S阴影=18 -SDEBF=18 -4.5 =13.5解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合， 那么图形就可变成右图：A D (H)E GBF C这样阴影部分的面积就是 DDEF 的面积，根据鸟头定理，则有：ç ÷S阴影=SABCD-SDAED-SDCFD1 1 1 1 1 1 1 =36 - ´ ´36 - ´ ´ ´36 - ´ ´362 2 2 2 2 2 2 =13.5例 3：如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70， AB =8 ， AD =15 ，四边形 EFGO 的面积为．A DEOGB FC分析：利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、DOG 和四边形 EFGO 的面积之和， 以及三角形 AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积．1由于长方形 ABCD 的面积为 15 ´8 =120 ，所以三角形 BOC 的面积为 120 ´ =30 ，所以三角43形 AOE 和 DOG 的面积之和为 120 ´ -70 =20 ；4æ1 1 ö又三角形 AOE 、DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为 120 ´ - =30 ，所以四边形 EFGOè2 4 ø的面积为 30 -20 =10 ．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积 =三角形 AFC 面积 +三角形 BFD 面积 -白色部 分的面积，而三角形 AFC 面积 +三角形 BFD 面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的 面 积 等 于 长 方 形 面 积 减 去 阴 影 部 分 的 面 积 ， 即 120 -70 =50 ， 所 以 四 边 形 的 面 积 为 60 -50 =10 ．例 4：已知 ABC 为等边三角形，面积为 400， D 、 E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、 丙面积和为 143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形 HBC )A甲 乙D I J FBMHEN丙C分析：因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位线， 也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200．根据图形的容斥关系，有SDABC-S =S丙DABN+SDAMC-SAMHN，即 400 -S = 200 +200 -S 丙AMHN，所以S丙=SAMHN．又S阴影+SDADF=S +S +S 甲 乙AMHN，所以D BEC27 28 2828 27D ADGD CBFS阴影=S +S +S -S 甲 乙 丙DADF1=143 - ´400 =43 4．例 5：如图，已知CD =5 ， DE =7 ， EF =15 ， FG =6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左边 部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是．AAC DE FGC DE FGBB分析：连接 AF ， BD ．根据题意可知， CF =5 +7 +15 =27 ； DG =7 +15 +6 =28 ；所以，S =DBEF1527SDCBF，12 21 7S = S ， S = S ， S = SDCBF DAEG DADG DAED DADG，于是：21 15S + S =65 DADG DCBF；7 12S + S =38 28 27；可得SDADG=40．故三角形 ADG 的面积是 40．例 6：如图在 △ ABC 中， D, E 分别是 AB , AC 上的点，且 AD : AB =2:5 ， AE : AC =4:7 ，ADE=16 平方厘米，求 △ABC 的面积．AADDEEBCB C分析：连接 BE ， : =AD : AB =2 :5 =(2 ´4) : (5 ´4) ，ADE ABE: =AE : AC =4 : 7 =(4 ´5) : (7 ´5) ， 所 以 S : S =(2 ´4) : (7 ´5) ， 设 ABE ABC ADE ABCS =8 份，则 S =35 份， S =16 平方厘米，所 1 份 2 平方厘米，35 份就是 70 ADE ABC ADE方厘米， △ABC 面积是 70 方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角 三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．例 7：如图在 △ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 AB : AD =5: 2 ，AE : EC =3: 2 ， =12 平方厘米，求 △ ABC 的面积．AD。