1有限与无限的问题 《数学文化》课程组2高等数学与初等数学的区别？3¡更加全面；¡更加深刻；¡更加细微；¡更加本质；¡更加理论化；¡更加系统化；¡…………4高等数学与初等数学的区别？¡从 研究“常量”发展到研究“变量”¡从 研究“有限”发展到研究“无限”初等数学更多地在“有限”的领域里讨论，更多地以“有 限”为手段和工具进行讨论；高等数学则更多地在“无限”的领域里讨论，更多地以“无 限”为手段和工具进行讨论5什么是悖论悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论 悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是 真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后 ，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之 ，以非B为前提，亦可推得B那么命题B就是一个悖论所谓正确6例如：“甲 是 乙”与“甲 不是 乙”这两个命题中总有一个是错的；但 “本句话 是 七个字”与“本句话 不是 七个字”又均是对的，这就是悖论7再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论1. 外祖母悖论我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。
我外 祖母没了，我妈就没了，我也就没了而我没了，就没有人杀 我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了而有了我，外祖 母就没了，我也就没了……这就是悖论，自己与自己就有矛盾 3.“说谎者循环”A说：“下面是句谎话B说：“上面是句真话2.说谎者悖论——自指引发的悖论 “我正在说谎”有克利特人中的一个本地中先知说：“克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒”(《圣经·提多书》第一章 )物理学中“平行宇宙”这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大 英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界 大战、电脑网络……如果将整个工业时代去掉，那至此 以后的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大 战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个 平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们 可能正在遭受着战争的阴影这个时候“外祖母悖论” 就有了合理的解释：一个人可以回到过去杀死自己的外 祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有 那个人（原先的轨道），而另一条中没有那个人《The Time Machine》 《The Matrix》13一、芝诺悖论---由无限引出的芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱 利亚学派创始人巴门尼德的学生。
他企图证明该 学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分 的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运 动只是假象于是他设计了四个例证，人称“芝 诺悖论”这些悖论是从哲学角度提出的1）两分法¡向着一个目的地运动的物体，首先要先走完 路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走 完剩下的1/2如此类推，以至无穷，永远不能到达终点¡结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远 不可能开始的 152）阿基里斯(Achilles)悖论：阿基里斯追不上乌龟 3）飞矢不动悖论¡一支飞行的箭是静止的：¡由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而 是静止的，因此箭就不能处于运动状态 4）“操场或游行队伍”¡A、B两件物体以等速向相反方向运动从静 止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移 动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内 就移动了4公里由于B保持等速移动，所以 移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半因而一半的时间等于两倍的时间 182. 症结——“有限与无限”的矛盾无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的 3. 芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？19芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。
在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献 “客满”后又来1位客人（“客满”？）1 2 3 4 ┅ k ┅↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅2 3 4 5 ┅ k+1 ┅空出了1号房间 222. 客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1 2 3 4 ┅ k ┅↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅2 4 6 8 ┅ 2k ┅空下了奇数号房间 233. 客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人1 2 3 4 ┅ k ┅↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅10001 20002 30003 40004 ┅ 10001×k ┅给出了一万个、又一万个的空房间 24全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。
252. 客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1 2 3 4 ┅ k ┅↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅2 4 6 8 ┅ 2k ┅空下了奇数号房间 共两个这样的旅游团，所以把房间两个一份、两个一 份地分，可以让两个旅游团的1号客人、2号客人、分别入住 263. 客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人1 2 3 4 ┅ k ┅↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅10001 20002 30003 40004 ┅ 10001×k ┅给出了一万个、又一万个的空房间 27全面、深刻地揭示本质的回答 是容易推广的¡该旅馆客满后又来了9857个旅游团，每个团 中都有无穷个客人，如何安排？¡该旅馆客满后又来了10亿个旅游团，每个团 中都有无穷个客人，如何安排？28是否有人想提什么问题？294. 该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深 刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾 如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概 念比无穷大更需要澄清……”----Hilbert30三、无限与有限的区别和联系1. 区别1） 在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。
31当初的伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n …↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 …[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等这就形成悖论]322.） “有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立 （1）实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立:(a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c33在“无限”的情况下，加法结合律不再成立如34（2）有限级数一定有“和” √ 是个确定的数无穷级数一定有“和” × 则不是个确定的数称为该级数“发散”反之称为“收敛”352. 联系在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程如： ； 自然数N，都 ，使 时， 363）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如4）递推公式 , n= 2,3,…373. 数学中的无限在生活中的反映1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的（整体看又是圆的）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的）383） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积规则图形的面积→不规则图形的面积？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）方格越小（格子的数目越多），所得面积越准 39法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩形面积之和 近似等于曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极 ，就得到曲边梯形的面积40四、 潜无限与实无限1．潜无限与实无限简史潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。
41从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点他们认为“ 正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数例如，可以想象一个个正整数写在 一张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那 么，这一过程将永无终止因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里 亚里士多德只承认潜无限，不承认直线是由点构成 42但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体这就是实无限的观点康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨 大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔， 却激烈反对康托的观点所以康托当时的处境 和待遇都不太好高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，认为无限只不过是一种说话的方式实无限、潜无限只是一个硬币的两个面¡两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在 现代数学中都是有用武之地¡微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限¡无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼 近的过程，也是一个可供研究的实体¡Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是 人类心情宁静的最大敌人44¡康托Georg Ferdinand Philip Cantor (1845～1918) 德国数学家， 集合论的创始者。
1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918 年1月6日病逝于哈雷1862年17岁时 入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大 学,主修数学，从学于E.E.库默尔、 K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内 克1866年曾去格丁根学习一学期 1867年在库默尔指导下以数论方面的 论文获博士学位1869年在哈雷大学 通过讲师资格考试，后即在该大学任 讲师，1872年任副教授，1879年任教 授¡由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于 部分”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以 至于同时代的数学家和哲学家都。