24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角（（2 2）） ·ABC1OC2C3定理与推论定理与推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定定 理理 半圆（或直径）所对的圆周半圆（或直径）所对的圆周角是直角角是直角; ; 90 90°°的圆周角所对的弦是直径．的圆周角所对的弦是直径． 推推 论论 新课讲解：新课讲解： 若一个多边形若一个多边形各顶点都在同一各顶点都在同一个圆上个圆上，那么，这个多边形叫做圆，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆形的外接圆OBCDEFAOACDEB OOC CA AB BD D如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为⊙⊙OO的内接四边形；的内接四边形；⊙⊙OO为四边形为四边形ABCDABCD的的外外接圆 思考：思考：∠∠A A与与∠∠C C有什有什么关系？么关系？∠∠B B与与∠∠D D有有什么关系？什么关系？ COODBA如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，∵ ∵ 弧弧BCDBCD和弧和弧BADBAD所对的所对的圆心角的和是周角圆心角的和是周角∴∠A∴∠A＋＋∠∠C C＝＝180° 同理同理∠∠B B＋＋∠∠D D＝＝180180°°圆的内接四边形的对角互补。
圆的内接四边形的对角互补 如果延长如果延长BCBC到到E E，那么，那么∠∠DCEDCE与与∠∠A A有什么关有什么关系？系？所以所以∠∠A A＝＝∠∠DCEDCE又又 ∠∠A A ＋＋∠∠BCDBCD＝＝ 180180°°C COOD DB BA AE∠∠DCEDCE＋＋∠∠BCDBCD ＝＝180° 要会用到解题中 •定理：圆的内接四边形的对角互补定理：圆的内接四边形的对角互补 几何表达式：几何表达式： ∵∵ ABCD是是⊙ ⊙O的内接四边形，的内接四边形， ∴∴ ∠∠A+∠∠C=180° (1)四边形四边形ABCD内接于内接于⊙ ⊙O，则，则∠∠A+∠∠C=______ ∠∠B+∠∠ADC=_______;若若∠∠B=80°，则，则∠∠ADC=____ ∠∠CDE=______(2)四边形四边形ABCD内接于内接于⊙ ⊙O，，∠∠AOC=100°则则∠∠B=______∠∠D=______ (3)四边形四边形ABCD内接于内接于⊙ ⊙O, ∠∠A:∠∠C=1:3,则则∠∠A=_____, 180° 180° 100° 80° 50° 130° 45° EDBAC80DBACO100 (4)梯形梯形ABCD内接于内接于⊙ ⊙O,AD∥∥BC, ∠∠B=750,则则∠∠C=_____ 75°返回圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形DBACO 例例 如图，如图，⊙ ⊙O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，，∠∠ACB的平的平分线交分线交⊙ ⊙O于于D，求，求BC、、AD、、BD的长．的长．又在又在Rt△ △ABD中，中，AD2+BD2=AB2，，解：解：∵∵AB是直径，是直径，∴ ∴ ∠ ∠ACB= ∠ ∠ADB=90°．．在在Rt△ △ABC中，中，∵ ∵CD平分平分∠∠ACB，，∴ ∴AD=BD.例题例题 例例 如图如图⊙⊙OO1 1与与⊙⊙OO2 2都经过都经过A A、、B B两点，两点，经过点经过点A A的直线的直线CDCD与与⊙⊙OO1 1 交于点交于点C C，与，与⊙⊙OO2 2 交于点交于点D D经过点B B的直线的直线EFEF与与⊙⊙OO1 1 交于点交于点E E，与，与⊙⊙OO2 2 交于点交于点F F求证：求证：CE∥DFCE∥DF12OOOOF FA AB BE EC CD D 12OOOOF FA AB BE EC CD DCE∥DFCE∥DF1∠E∠E＋＋∠∠F F＝＝180180°°∠E∠E＋＋∠∠1 1＝＝180180°°、、∠∠1 1＝＝∠∠F FABECABEC是是⊙⊙OO1 1的内接四边形的内接四边形ABFDABFD是是⊙⊙OO2 2的内接四边形的内接四边形连结连结ABAB 证明：连结证明：连结ABAB∵ABEC∵ABEC是是⊙⊙OO1 1的内接四边形，的内接四边形，∴∠1∴∠1＝＝∠∠F F∵ADFB∵ADFB是是⊙⊙OO2 2的内接四边形，的内接四边形，∴∠E∴∠E＋＋∠∠1 1＝＝180180°°∴∠E∴∠E＋＋∠∠F F＝＝180180°°∴CE∥DF∴CE∥DF12OOOOF FA AB BE EC CD D1 12OOOOF FA AB BE EC CD DGH 反思与拓展反思与拓展 证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。
刚才我们通过同旁相等、内错角相等、同旁内角互补等方法刚才我们通过同旁内角互补证明了内角互补证明了CE ∥∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或者，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？内错角相等证明结果？ 1）延长EF,是否有∠E=∠BAD＝ ∠1 ？ 2) 延长DF, 能否证明∠E＝∠２＝∠3？ O1BO2ACDEF1 巩固练习巩固练习: :1 1、、如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为⊙⊙OO 的内接四边形，已知的内接四边形，已知∠∠BODBOD＝＝100100°°，求，求∠∠BADBAD及及∠∠BCDBCD的度的度数A AOOD DB BC C 2.2.求证：圆内接平行四边形是矩求证：圆内接平行四边形是矩形O OC CD DB BA A3.3.已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是是圆的内接四边形并且圆的内接四边形并且ABCDABCD是平是平行四边形行四边形求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形 (1)(1)如图如图5 5，四边形，四边形ABCDABCD内接于内接于⊙⊙O O，则，则∠∠A+∠C=__A+∠C=__ ，，∠∠B+∠ADC=_____;B+∠ADC=_____;若若∠∠B=80B=800 0，， 则则∠∠ADC=______ ∠CDE=______ADC=______ ∠CDE=______(2)(2)如图如图6 6，四边形，四边形ABCDABCD内接于内接于⊙⊙O O，，∠∠AOC=100AOC=1000 0则则∠∠B=______∠D=______B=______∠D=______(3)(3)四边形四边形ABCDABCD内接于内接于⊙⊙O, ∠A:∠C=1:3,O, ∠A:∠C=1:3,则则∠∠A=_____,A=_____, 180° 180° 100° 80° 50° 130° 45° 4.填空填空图图5图图6)( (4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____ 75°圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
等等 腰 若若ABCDABCD为圆内接四边形，则下列哪为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立个选项可能成立（（ ））（（A））∠∠A∶∠∶∠B∶∠∶∠C∶∠∶∠D ＝＝ 1∶ ∶2∶ ∶3∶ ∶4 （（B））∠∠A∶∠∶∠B∶∠∶∠C∶∠∶∠D ＝＝ 2∶ ∶1∶ ∶3∶ ∶4 （（C））∠∠A∶∠∶∠B∶∠∶∠C∶∠∶∠D ＝＝ 3∶ ∶2∶ ∶1∶ ∶4 （（D））∠∠A∶∠∶∠B∶∠∶∠C∶∠∶∠D ＝＝ 4∶ ∶3∶ ∶2∶ ∶1B补充练习：补充练习： 布置作业：布置作业：教科书教科书 8686页页A A组组 1515、、1616、、1717题；题； B B组组1 1、、5 5 题题 因为因为∠∠A A是与是与∠∠DCEDCE相邻的内相邻的内角角∠∠DCBDCB的对角，我们把的对角，我们把∠∠A A叫做叫做∠∠DCEDCE的内对角的内对角圆内接四边形的一个圆内接四边形的一个外角等于它的内对角外角等于它的内对角C COOD DB BA AE C COOD DB BA AE1234567 定理：定理： 圆的内接四边形的圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
外角都等于它的内对角要会背，你会背了吗？ 。