二阶常系数 第五节线性微分方程 第八章 一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程是常数） 二阶线性常系数齐次微分方程 一、基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程特征方程,1. 当时, ②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),①所以令①的解为 ②则微分其根称为特征根特征根. 特征方程2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为 特征方程3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为 小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程: 推广推广: 例例1. 的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为 例例3.解解: 特征方程:特征根为则方程通解 : 二阶线性常系数非齐次微分方程 二、 第八章 1、、常数变易法常数变易法复习: 常数变易法: 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: 设③的解为 ③ 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:④ ⑤令于是将以上结果代入方程 ③ : 得⑥故⑤, ⑥的系数行列式是对应齐次方程的解P10 积分得: 代入③ 即得非齐次方程的通解: 于是得 说明说明: 将③的解设为 只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.方程3 方程③, 情形情形2. 仅知③的齐次方程的一个非零特解 代入 ③ 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解: 方程3 ③ 例例4.的通解为 的通解.解解: 将所给方程化为:已知齐次方程求利用⑤,⑥建立方程组: 故所求通解为⑤⑥积分得 解上述可降阶微分方程,可得通解:例例5.的通解.解解: 对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得故原方程通解为 2、待定系数法一、一、二、二、若非齐次微分方程若非齐次微分方程的右端项具有下面的特殊形式，则可用待定系数法的右端项具有下面的特殊形式，则可用待定系数法来求特解。
来求特解 二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .①— 待定系数法待定系数法 （一）、（一）、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解 例例6.的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为 例例7. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为 例例8. 求解定解问题解解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得 于是所求解为解得 （二）、（二）、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点 第一步第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 ③ 的特解 .②③设则 ② 有特解: 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程 均为 m 次多项式 . 第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 , 小小 结结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 例例9. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解 例例10. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 例例11.解解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 内容小结内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 内容小结内容小结 为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 。