【数学】2010年高考真题湖北卷（理）解析版

12010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷湖北卷)数学数学(理工农医类理工农医类)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分、在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的1．若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 Z，则表示复数1z i的点是A．E B.F C.G D.H 2．设集合22 {,|1}416xyAx y，{( , )|3 }xBx yy，则AB的子集的个数是 A．4 B．3 C ．2 D．13.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=A －2 2 3B 2 2 3C －6 3D 6 34.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的 点数是 3”为事件 B,则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是A 5 12B 1 2C 7 12D 3 45．已知ABC和点 M 满足0MA MB MC +.若存在实数 m 使得AB ACAMm 成立，则 m= A．2 B．3 C．4 D．5 6．将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个 容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003．这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第Ⅰ营区，从 301 到 495 住在第Ⅱ营区，从 496 到 600 在第Ⅲ营区， 三个营区被抽中的人数一次为 A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 7、如图，在半径为 r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前 n 个圆的面积之和，则lim nns= A． 22r B. 8 32r C.42r D.62r28、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B.126 C.90 D.549.若直线 y=x+b 与曲线234yxx有公共点，则 b 的取值范围是A. 1,12 2B. 1 2 2,12 2C. 1 2 2,3D. 12,310.记实数1x，2x，……nx中的最大数为 max12,,nx xx，最小数为 min12,,nx xx已知 ABC 的三边长位 a,b,c（abc） ，定义它的亲倾斜度为max,,.min,,,a b ca b clb c ab c a则“l=1”是“ABC 为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位 置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写填错位置，书写不清，模凌两可均不得分11、在（x+ 43y）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项12.已知2zxy，式中变量x，y满足约束条件, 1, 2,yx xy x  ，则z的最大值为___________.13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与 圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径 是 cm。

314．某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望 E=8.9，则 y 的值为 .15.设 a>0,b>0,称2ab ab为 a，b 的调和平均数如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D连结 OD，AD，BD过点 C 作 OD 的 垂线，垂足为 E则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线 段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平 均数三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16． （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=11cos()cos(), ( )sin23324xx g xx（Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数 h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合17． （本小题满分 12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年 的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）=(010),35kxx若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 （Ⅰ）求 k 的值及 f(x)的表达式 （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值418． (本小题满分 12 分)如图， 在四面体 ABOC 中, ,,120OCOA OCOBAOB 且1OAOBOC（Ⅰ）设为P为AC的中点， 证明： 在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算AB AQ的值；（Ⅱ）求二面角OACB的平面角的余弦值19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(Ⅰ)求曲线 C 的方程； （Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有0FA FB    ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

      n+1n n1nn+1n nn+122 nn 1nnnn20.(13) 3aa1aaa a0(1),b21 a1 abaanabb.21. bfxaxca,fy xxn本小题满分分 （1+）2（1+ ）已知数列满足：，，数列满足：（1）.（）求数列，的通项公式；（）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列（本小题满分14分）已知函数（）=+（>0）的图象在点（1 （1））处的切线方程为= -1.( )abcfxlnxa用表示出，；（）若（）在[ 1，+ ）上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ） 111n1ln nn232 nn证明：（+1）+（1）（+1）5答案答案1． 【答案】D【解析】观察图形可知3zi,则3211ziiii，即对应点 H（2，－1） ，故 D 正确.2． 【答案】A【解析】画出椭圆22 1416xy和指数函数3xy 图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则AB的子集应为  1212,,,,AAA A共四种，故选 A.3． 【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinab AB可得1510 sin60sinB解得3sin3B ，又因为ba，则BA，故 B 为锐角，所以26cos1sin3BB，故 D 正确.4． 【答案】C 【解析】用间接法考虑，事件 A、B 一个都不发生的概率为4 5 1 615()( )( )212CP ABP A P BCA则所求概率 71()12P AB ， 故 C 正确。

5． 【答案】B【解析】由题目条件可知，M 为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则 2 3AMAD ①， 因为AD为中线2ABACADmAM   ，即 2ADmAM ②, 联立①②可得 3m ，故B正确6． 【答案】B 【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 12 个号抽到一个人， 则分别是 003、015、027、039构成以 3 为首项，12 为公差的等差数列， 故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人，在 301 至 495 号中共有 17 人，则 496 到 600 中有 8 人， 所以 B 正确 7． 【答案】C 【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：cos30 ,(cos30 )cos30 ,(cos30 ,cos30 )cos30 ,r, rrr即6333 3rrrr248，，，，则面积依次为：22223927rrrr41664，，，，所以22222 n339271limSlim( rr)rlim(1)r4 r344166414nnn    故 C 正确. 8． 【答案】B【解析】分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有23 3318CA；若有 1 人从事司机工作，则方案有123 343108CCA种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确9． 【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b 距离等于 2，解得12 212 2bb  或，因为是下半圆故可得12 2b  （舍） ，当直线过（0，3）时，解得 b=3,故12 23,b所以 C 正确.10.【答案】A【解析】若△ABC 为等边三角形时，即 a=b=c，则max,,1min,,a b ca b c b c ab c a 则l=1；若△ABC 为等腰三角形，如 a=2,b=2,c=3 时，则32max,,,min,,23a b ca b c b c ab c a，此时 l=1 仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以 A 正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为202044 12020( 3 )( 3)(020)rrrrrrr rTC xyCxyr 要使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理数的项共有 6 项.12.【答案】5 【解析】依题意，画出可行域（如图示） ， 则对于目标函数 y=2x-z， 当直线经过 A（2，－1）时，z 取到最大值，max5Z.713.【答案】4【解析】设球半径为 r，则由3VVV或或或可得33224863rrrr,解得 r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9xyxy 联合解得0.4y .15.【答案】CD DE【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高，则由射影定理可得2CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为 a,b 的几何平均数，将 OC=, , 222abababaCDabOD代入OD CEOC CD可得abCEabab故2 22() 2()abOEOCCEab。