实验1数学建模 初步从数学的重要性谈起!数学的重要性：众所周知？n E. E. David Jr.: (Notices of AMS, v31, n2, 1984, P142)……现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术n 马克思：一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步n 资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告: (NSF Report, March 1998)现如今的数学科学对科学的所有的三个方面：观察、理论和模拟来说都是必不可少的 ……数盲和文盲一样是极其有害的• 既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力• 利用计算机和数学软件, 培养分析、思考能力• 感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望数学的重要性：似是而非？n 不少同学（甚至社会）的反映：---- 无用 ---- 难学n 原因：很少用；用不好n 最常用的大学数学内容有哪些?n纯粹数学(Pure Math) – 基础/核心(Core)数学？n应用数学(Applied Math)n计算数学(Computational Math)n概率论与数理统计 – 随机/统计数学？n运筹学(OR)与控制论 – 运筹数学？数学的二级学科(研究生专业)Core应 用 数 学数学与数学实验数学实验 Mathematical Experiments / Experiments in Mathematics实验数学 Experimental Mathematics / Mathematics by Experiments两层含义: 通过实验(当前主要是计算机实验)：ü 研究 / 探索 / 发现数学知识ü 学习 / 验证 / 应用数学知识什 么 是 数 学 建 模人们常见的模型：~ 实物模型玩具、照片、火箭模型… 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型地图、电路图、分子结构图…~ 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型(Prototype)的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征司机（方向盘）、钳工（工件）…~ 思维模型你碰到过的数学模型 ——“航行问题”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：求解得到 x=20, y=5.答：船速每小时20千米甲乙两地相距750公里， 船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少航行问题建立数学模型的基本步骤• 作出简化假设（船速、水速为常数）；• 用符号表示有关量（x~船速, y~水速）；• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；• 求解, 得到数学解答（x=20, y=5）；• 回答原问题（船速每小时20千米）Ø 数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略 Ø 数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程 1.1.数学模型与数学建模数学模型与数学建模 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳) (演绎)数学建模 的全过程一个简单的数学建模实例汽车刹车距离问题问题：汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车； 车速越快，刹车距离越长；刹车距离与车速之间是什么关系 ？(线性、)从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离 刹车距离指什么？实验数据：车速v (km/h)与刹车距离d (m) （假设我们用同一辆汽车，同一司机驾驶，在 不变的道路、气候等条件下进行汽车刹车距离d 与v不是 线性关系153.5118.083.457.133.617.86.5d14012010080604020v问题分析制动力使汽车作匀减速运动常数刹车距离 = 反应距离 + 制动距离汽车刹车距离反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离制动 距离反应 距离反应时间车速司机状况制动系统灵活性制动器作用力 车重、车速 道路、气候…制动距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离常数假 设 与 建 模 刹车距离刹车距离 d d = = 反应距离反应距离 d d1 1 + + 制动距离制动距离 d d2 2反应距离 d1与车速 v 成正比：d1= k1 v ,刹车使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变k1~反应时间F使车作匀减速运动： F = maF d2= m v2/2汽车刹车距离参数估计 v (km/h)20406080100120140 实际实际 距 离 d (m)6.517.833.657.183.4118.0153.5汽车刹车距离反应时间为k10.65s 刹车时的减速度a=1/2k2 6m/s2 模型计计算距离 d (m)6.2617.78 34.5 656.6183.92116.4 9154. 33用实验数据对k1 , k2 作拟合: k1=0.6522，k2=0.0853 内容提要数学模型的基本概念 数学建模实例 数学建模的重要意义数学建模的一般步骤如何培养数学建模能力刹车距离 生产计划蛛网模型人口预测数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳) (演绎)数学建模 的全过程例2 市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现 象• 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定• 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求数量与价格在振荡• 建立一个简化的数学模型描述这种现象 例2 市场经济中的蛛网模型y0x0P0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系 ~ 需求函数生产者的供应关系 ~ 供应函数 (设滞后一个时间段)减函数增函数f 与g 的交点 P0(x0, y0) ~ 平衡点一旦 xk= x0，则 yk= y0，xk+1= x0， yk+1=y0, ……fxy0g简化： f 与 g 线性没有说明能不能达到平衡点？x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3xy0y0x0P0fg设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点P1P2P3P4xy0y0x0P0fg例2 市场经济中的蛛网模型方程模型P0稳定P0不稳定与蛛网模型 对比例2 市场经济中的蛛网模型平衡状态：x0=100，y0=10 ，=0.1, =5 =0.1, =5 =0.24, =5 =0.24, =5 x1=110 例例2 市场经济中的蛛网模型考察, 的含义 ~消费者对需求的敏感程度 ~生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定经济稳定结果解释商品数量减少1单位,价格上涨幅度价格上涨1单位,(下时段)供应的增量例2 市场经济中的蛛网模型经济不稳定时政府的干预办法1. 使 尽量小，如 =0以行政手段控制商品价格不变2. 使 尽量小，如 =0靠经济实力控制商品数量不变需求曲线变为水平供应曲线变为竖直xy0y0gfxy0x0gf例2 市场经济中的蛛网模型例3 汽车厂生产计划 • 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量 ： 小型 中型 大型 现有量钢材（吨） 1.5 3 5 600劳动时间（小时） 280 250 400 60000利润（万元） 2 3 4 • 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
基本模型 小型 中型 大型 现有量钢材 1.5 3 5 600时间 280 250 400 60000利润 2 3 4 整数线性规划模型（ILP）设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3决策变量约束条件目标函数例3 汽车厂生产计划 模型求解 第一种办法 整数线性规划（ILP）松弛 线性规划（LP）MATLAB LINDO/LINGO 为了得到 x1, x2, x3的整数解，在实数解附近试探： x1=64.52, x2=167.74, x3=0, z=632.26 x1=65, x2=167, x3=0; 在满足约束条件前提下，计算并比较目标函数的大小 x1=64，x2=168, x3=0; 结果: x1=64, x2=168, x3=0; z=632 例3 汽车厂生产计划 模型求解 第二种办法 利用直接求解整数线性规划的软件（如：LINDO/LINGO）求解整数线性规划的复杂程度比线性规划大得多结果与上面相同用普通软件能求解的整数线性规划的规模受到限制 例3 汽车厂生产计划 其中3个子模型易去掉，然后逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型 • 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
x1,x2,, x3=0 或 80x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610例3 汽车厂生产计划 方法2：引入0-1变量，化为整数线性规划(ILP) M为大的正 数，如1000 x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80NLP可用LINGO, MATLAB求解， 其结果常依赖于初 值的选择，且一般 不能保证得到全局 最优解见实验 7） 方法3：化为非线性规划（ NLP） x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80例3 汽车厂生产计划 例4 人口预报背景年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况研究人口变化规律控制人口过快增长年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0指数增长模型（马尔萨斯1798年提出）常用的计算公式x(t) ~时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长例4 人口预报指数增长模型参数估计(r, x0) 专家估。