[工学]《_时域离散系统的基本网络结构与状态变换分析法-第五章》

本章主要内容§引言 §用信号流图表示网络结构§无限长脉冲响应基本网络结构§有限长脉冲响应基本网络结构第5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法时域离散系统或网络的描述方法：§差分方程：描述时域离散系统输入输出之间的关系§单位脉冲响应：系统对(n)的零状态响应§系统函数：系统单位脉冲响应h(n)的Z变换如果系统输入输出服从N阶差分方程，即： 其系统函数H(z)为：5.1 引言ii i=1对输入信号的直接算法，已知x(n)、ai、bi和n时刻以前的y(n-i)，可以递推出y(n)1、数字信号处理中的三种基本算法：乘法、加法和单位延迟5.2 用信号流图表示网络结构《信号与系统》的方框图表示法DSP中三种基本运算流图x1(n)+ x2(n)x(n) z -1x(n-1)延时单元x(n)Z1x(n-1)加法单元x1(n)x1(n)x2(n)乘法单元 aax(n)x(n)ax(n)ax(n)x2(n)x1(n)+x2(n)直观简洁5.2 用信号流图表示网络结构流图结构中的基本概念§ 节点：输入节点(x(n)) 、输出节点(y(n)) 、中间节点，用一圆点表示每个节点处的信号称为节点变量。

§ 支路：节点间连线§ 箭头表示信号流动方向§ Z1和a为支路增益信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成 x(n)y(n)W2’(n )W2(n)W1( n)z-1b1b0-a2-a1b2z-12.基本信号流图不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图相对应从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图§ 信号流图中所有支路的增益是常数或者是z-1；§ 流图环路中必须存在延时支路；§ 节点和支路的数目是有限的 5.2 用信号流图表示网络结构[例]：判断下列两图是否为基本信号流图网络结构可以通过基本信号流图来描述5.2 用信号流图表示网络结构ax(n)y(n)z图1-bx(n)y(n)图2以上两图都不满足基本信号流图的条件，图1支路的增益不是常数或Z-1，图2的流图环路中没有延时支路3.由基本信号流图求系统函数H(z)根据给定的信号流图，设置中间节点变量，节点变量w(n)等于该节点 的所有输入支路变量之和代入中间节点变量，就可以最终确定流图的输入与输出关系，并根据输入、输出关系求出系统函数H(z)[例]：已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z)。

解:(1)首先在信号流图中，设置中间节点变量w2'(n)、w2(n) 、 w1(n)，列出节点变量状态方程；并对各方程求Z变换5.2 用信号流图表示网络结构x(n)y(n)W2’(n )W2(n)W1( n)z-1b1b0-a2-a1b2z-15.2 用信号流图表示网络结构w1(n)=w2(n-1); w2(n)=w2’(n-1);w2’(n)=x(n)-a1w2(n)-a2w1(n); y(n)=b2w1(n)+b1w2(n)+b0w2’(n); W1(z)=W2(z)z-1;W2(z)=W2’(z) z-1; W2’(z)=X(z)-a1W2(z)-a2W1(z);Y(z)=b2W1(z)+b1W2(z)+b0W2’(z);(2)求解状态变量的Z变换方程，用X(z)和常数，Z-m表示Y(z),根据 H(z)=Y(z)/X(z)，求出系统函数H(z)4.网络结构分类描述系统的差分方程为：一般将网络结构分成两类§ 有限长脉冲响应网络(FIR)特点: (1) 单位脉冲响应h(n)有限长；(2)网络结构中不存在输出对输入的反馈支路；其差分方程可表示为：§ 无限长脉冲响应网络(IIR)：(1) 网络的单位脉冲响应h(n)是无限长的；(2) 网络结构中存在输出对输入的反馈支路，即:信号流图中存在 环路。

其它n +IIR基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型一、直接型：(直接Ⅰ型、Ⅱ型)对N阶差分方程重写如下：1、直接Ⅰ型：从差分方程出发，用基本运算单元直接画出网络流图，第一部分(输入)对应 ，第二部分(反馈)对应 设：M=N=2，根据差分方程直接画出网络结构5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构直接I型优点：结构简单、清晰；缺点：所用运算单元多，延时支路较多； 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构W1W2• 直接Ⅱ型 ：由于系统函数 H(z) = H1(z)H2(z) = H2(z)H1(z)，上图中两部分交换位置，由于节点变量W2=W2，前后两部分延时支路可以合并5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构优点： 结构简单、清晰，延时 支路比直接I型减少一 半； 缺点： §ak、bk常数对滤波器的 性能控制作用不明显； §零、极点关系不明显 ，调整困难 §系数量化效应敏感度 高[例]：已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的直接型 结构解：由H(z)写出差分方程如下：5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构也可以按照系统函数表达式直接画出直接II型网络结构。

二、级联型对于系统函数分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子 分母多项式分别进行因式分解，得到将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成一个二阶多项式，系数 仍为实数，将分子、分母均为实数的二阶多项式放在一起，形 成一个二阶网络5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构式中，A是常数，Cr，dr分别表示零点、极点，为实数或共轭成对的复数式中：β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数这样，H(z)就分解成一些一阶 或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) ：级联型结构不是唯一的式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构 均采用前面介绍的直接型网络结构表示5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构二阶网络系统函数为：一阶网络系统函数为：y(n)x(n)1j0j1jz-1直接型一阶网络结构图y(n)x(n)z-1z-11i0i2i2i1i直接型二阶网络结构IIR的级联型网络结构：H(z)= H1(z)H2(z)Hk(z)，级联型示意图：优点: § 所需存储器最少，系统结构组成灵活；§ 每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点。

调整一阶网络和二阶网络系数可以改变零极点位置，所以零、极点调整方便，便于调整频响；缺点：§ 存在误差积累、级联结构中后面的网络输出不会传送到前面，所以运算误差的积累相对于直接型要小；§ 零、极点配合关系着网络最优化的问题，而最佳配合关系不易确定5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构y(n)x(n)H1(z) H2(z)Hk(z)例:已知IIR数字滤波器的系统函数 ，画出该滤波器的级联型结构5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构解: 将H(z)的分子、分母进行因式分解，得为了减少单位延迟的数量，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络则 H(z)的级联型结构为：y(n)45.26z-1z-11.24-0.50.2520.37z-1x(n)3、并联型将H(z)展成部分分式形式得到IIR并联型结构，即：式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数 二阶网络的系统函数一般为：5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数如果 a2i=0则构成一阶网络 其输出Y(z)表示为： Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)表明：将x(n)送入每个二阶(或一阶)网络后，将所有输出相加得到输出y(n)y(n)x(n )Hk(z)H2(z)H1(z)a优点：§ 所需存储器最小；§ 无误差积累，各级误差互不影响，仅极点调整方便。

所以，在要求准确传输极点的场合，宜采用这种结构;缺点:§ 零点调整不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开不易5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构例:若系统函数 ，求H(z)的并联型结构 解：确定 H(z) 极点 z1=0.5，z2=0.25 均为一阶极点；并将 H(z) 表示成 Zn 正幂等式，对H(z)展开成部分分式5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构18250125050250=++====zzzzzzzzzHA ).().()(12++zzzH)( 50250250250=====zzzzzz25- ).().(B282505012 020=++====zzzzzzzzzH ).)(.()(C5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构将上式每一部分用直接型结构实现，其并联型结构如下图：0.5Z-118y(n)x(n)80.25Z-1－25FIR网络结构特点没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的 设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为:一、直接型(或称卷积型、横截型、横向型)直接按H(z)或者差分方程画出没有反馈支路的结构图。

5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(N－1)h(2)h(N-2)FIR 直接型网络结构1L2L22120L02x(n)y(n)011121z-1z-1z-1z-1z-1z-1FIR级联型网络结构示意图二、级联型H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数 的二阶网络，形式如下：优点：调整零点位置比直接型方便 缺点：所需乘法器较多，H(z)阶次较高时，因式分解不容易FIR网络结构中还有线性相位型，将在第七章介绍5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构β0i、β1i、β2都是实数 如果β2i=0则为一阶网 络例:已知FIR网络系统函数H(z)=0.96+2Z-1+2.8Z-2+1.5Z-3，分别画出H(z)直接型与级联型结构解：1. 根据H(z)直接画出FIR直接型结构2. 对H(z)进行因式分解，H(z)=(0.6+0.5Z-1) (1.6+2Z-1+3Z-2)，画出级联结构5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构y(n)1. 5x(n)z-1z-1z-10.9622.8y(n)x(n)0.5321.60.6z-1z-1z-1三. 频率采样结构频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号时域混叠，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：要求：频率域采样点数N≥M，上式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。

5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构k=0,1,2,…N-1对H(z)的内插公式写成下式：根据H(z)的表达式，网络结构中有反馈支路，是由Hk(z)产生的 ，其极点为Zk=WN-k ，即单位圆上有等间隔分布的N个极点，由 于Hc(Z)为梳状滤波器，其零点为：零点也是等间隔分布在单位圆上，极点和零点相互抵消，保证 了网络的稳定性5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构H(z)是由一梳状滤波器Hc(Z)和N个一阶网络Hk(z)的并联结构进行级联而成5.4 有限长冲激响应(FIR)基本网络结构优点：§频响特性调整方便，在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，可有效地调整频响特性§易于标准化、模块化：只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同这样，相同部分便于标准化、模块化 FIR滤波器频率采样结构频率采样结构两个缺点：§ 系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的，由于寄存器的长度有限，有限字长效应可能使零极点不能完全抵消，影响。