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1、数学北师大版九年级专题复习与圆有关的最值（1）教学设计学 校西北大学附中教师 李 翠授课班级 九年级（1）班授课类型 专题复习课 时1节（45分钟）一、 教材分析：1教学内容：北师大九年级第二轮专题复习第14题：与圆有关的最值（1）2内容分析： 在平时模拟的过程中，学生往往在14题的最值问题上得分较低，通常考察三角形，四边形以及圆中的线段和面积等的最值问题，在三角形和四边形中的最值中已经研究过，本节课充分利用几何画板的动画特点，研究与圆有关的最值，在题目的设置上也遵循由易到难的原则，从简单模型到复杂模型，定性定量的给学生呈现出这样问题的解决思路，其实，任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系，
2、这也是解决这类问题的关键，同时在设计时我也注重一环紧扣一环的提问，引导学生自己挖掘题目中的信息，找到这些关键点。例二中从半径定过渡到半径不定，再到不变的位置关系，剥茧抽丝，层层递进，从而体会探究的乐趣。通过本节课的教学，让学生充分体会动与静的结合，挖掘、探索题目中变量、定量以及它们之间的关系，运用所学的知识求解。本节课既是对前面所学知识的一个综合运用，又是对学生逻辑思维能力的一个重要提升。对于程度较好的同学来说，找到解决运动变化问题的突破口是解决动态综合问题的基础，可以为后续的学习做好铺垫。 二、学情分析：1、知识基础： 学生已经走过了比较全面系统的一轮复习，对于圆的有关性质和知识熟悉并基本掌
3、握，故在第二轮专题复习时把与圆有关的最值问题作为一个独立专题研究，帮助学生剖析到圆上最值问题的本质和做题方法，进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。一班的同学在年级中属中等偏上水平，对于基本知识的学习掌握的较快，但缺乏应用的灵活性。2、学习能力和态度：由于已经进入了复习的尾声，学生比较重视，能自觉的讨论和研究问题，也具备了解决基本问题的能力，但是遇到思维量较大的题目和问题往往无处下手，所以有必要帮助学生找到突破口。三、教学目标本节课通过对与圆有关的动点和圆中线段长度的最值问题的探究，层层递进，由不变到变，与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索，在
4、训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力，因此确定本节课的教学目标为：1. 知识能力目标： 通过学生充分经历读题、画图、分析、理解的数学过程，寻找运动变化问题中的定量及不变的数量关系和位置关系，培养空间想象能力和定性定量分析问题的能力，提高解决此类问题的信心和能力。2.过程与方法目标：理解从一般到特殊，再从特殊到一般的解题过程，选取运动变化过程中的静止状态入手进行研究，以静制动，动中求静，找到问题的切入点，进一步探究定量和变量之间的联系、一般状态和特殊状态之间的联系，从而利用所学知识解决问题。3.情感态度价值观目标： 与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为
5、新奇有趣的探索，在训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力。教学重点与难点：重点：分析变化的过程，透过现象抓住问题的本质，并转化为所学知识进而解决问题难点：圆中的线段最值临界的分析和定位；挖掘、探索题目中不变的数量关系和位置关系。教学方法及学法指导教学方法：引导探究法范例教学法。学习方法：探究学习法、合作学习法。教学用具：教具：几何画板，多媒体白板 学具：铅笔、直尺、练习本六、教学过程步骤教 学 内 容教 师 活 动学 生 活 动教学意图课前准备类型一：圆上点与圆外点1. 两动点都在圆上2. 定点在圆外，动点在圆上如上图，考虑AP的最值_，并简单证明。总结：OA-OP(r)APOA+OP
6、（r)，即A,P,O三点共线时取得最值生1：当两动点都在圆上时，两点之间的弦=直径时，弦长度取得最大值，即圆心和这两点共线时。生2：当动点P在圆上，定点A在圆外，则OA-OP(r)APOA+OP（r)，即A,P,O三点共线时。课前准备从学生熟悉的情景和图形入手,从点在圆上动的简单情况，总结并分析取得最值时的临界。为之后例题的解决作铺垫。实战演练例1. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连结CGCG的最小值_师问1.动的问题中什么不变？你发现了什么师问2.CG的最小值是多少？师问3.CG有没有最大值？如果有，在哪儿取得，最大值为多少？师问4：
7、最左边，最右边能运动到哪儿，（学生稍有迟疑，教师演示几何画板，让G随着E的运动而动，同时追踪点G的轨迹）小结：1. 临界条件三点共线2. 点的运动轨迹有时是半圆或四分之一圆，应注意分析。生1：垂直关系不变，G在一个以AB为直径的半圆上运动。生2:取AB的中点O,连接OC，CG=OC-r生3：在A处取得最大值生4：不对，好像不是在A处，应该到不了A。生5:由几何画板的追踪轨迹发现，G最左运动到点B，最右只能运动到AC,BD的交点,可见最大为CB通过此例题使学生体会：1.动的问题一定要把握定的量。2. 圆上点和圆外点的最值问题两点与圆心共线。3. 存在隐形圆并非整圆，有时是半圆，半圆上点的最值区别
8、与整个圆。变式练习变式1：如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接BE交AF于点H.正方形的边长为4. 线段DH长度的最大值为x,最小值为y,则 的值是_?变式2：如图,P(3,4),圆P的半径长为2,A(2.8,0),B(5.6,0)点M是圆P上的动点,点C是MB的中点，则AC的最小值是_师问1：变式1与例1有什么区别和相同之处？怎样解决？师问2：你能从题目中挖掘什么信息？怎样解决？生1：前一个已知垂直，这个已知线段相等。生2：线段相等所以全等，因此相同之处即垂直。生3：其他的和上一题基本相同。生4：A是OB的中点，C是MB中点，AC是OMB的中位线生5：AC最小
9、，即OM最小，当O,M,P共线时，最小值为OP-r例1的变式1，意在使学生明白，往往垂直并不是显然已知的，具体问题应具体分析。变式2再巩固取最值时的位置关系并计算步骤教学内容教 师 活 动学生活动设计意图难点剖析难点剖析难点巩固类型二：圆中线段的长度最值热身练习：如图，在ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，经过点C,且与边AB相切于点D的动圆与CB,CA分别交与点E,F，则动圆半径长的最小值是_例2:在RtABC中,C=90,BC=3,AC=4,DE=3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N,则MN的最大值为_ 变式：如图，在ABC中，BCA=60，A=45，AC=26，经过点C且
10、与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是_师问1：有哪些定的量？师问2：怎样分析？师问3：什么时候直径最小？学生沉默，教师演示几何画板，许久。师问4：为什么垂直时最小？联系之前的准备，连接OC,OD，那么什么时候最小？但是具体在哪儿，只是共线时最小，为什么垂直？师问5：怎样计算？师问1：由题意可知什么？师问2：弦最大，怎么办？师问3：弦心距什么时候最小？教师用几何画板演示，不妨先确定一段长度，取MN的中点Y，连接OY，度量变化过程中弦心距长度的变化师问4：很好，能简单证明吗？这么一来，我们已经确定了当共线时弦心距最小，那么共线时的具体位置在哪？师问5：为什么垂
11、直？大家的共同努力下，问题解决了，共线时临界，且垂直。大家既然听懂了，请讲给你的同桌听。师问6：怎样计算？师问1：有哪些不变的量？师问2：什么时候弦最小？师：弦心距最大必须在r一定的情况下，但是这个问题中r一定吗？并不是师问3:60，45怎样用？师：很好，完整！师问4：什么时候r最小?师问5：那个临界位置在哪儿？分析的很到位，确定了临界位置，我们来计算。生1：RT定，EF是直径定，AB与圆相切定。生2：半径最小，直径最小。生3：当过C与AB垂直时应该是最小吧。生4：由三边关系，当C,O,D三点共线时，直径最小生5：因为过点C，且点D是切点，过，过C且垂直于AB的线段，即为直径的最小值。生6：等
12、面积生1：RT，DE是直径，直径定，圆定，MN是弦。生2：弦最大，半径定，则弦心距最小。生3：平行？生4：好像平行的时候并不是最小的，还有更小的位置，即C,O,Y三点共线时。生5：三边关系可以证明啦生6：垂直时生7：因为弦心距与弦垂直生8：等面积求得高线，减去r即为弦心距，“金三角”求得弦长生1：MN是弦，圆与AB相切，D是切点，C在圆上生2：弦心距最大？生3：尝试找出金三角的关系。生4：C在圆上，故圆心角120，所以半径为r，弦心距为r/2,弦为,所以r最小，弦最小生5：由三边关系C,圆心，弦的中点三点共线时，r最小。生6：因为圆与AB相切，故临界位置为过C作AB 的垂线，求垂线段的长，即圆的直径。生7：因为45。故垂线段长度可求，求出长度即直径，半径可得，所以弦长可得。热身练习学生均能猜出临界，但是通过简单的模型，学生清晰透彻的了解并懂得什么时候最小，为何最小的时候是垂直的。为解决例二的较复杂的问题进行铺垫。 例二的剖析，通过学生充分经历读题、分析、理解的数学过程，寻找运动变化问题中的定量及不变的数量关系和位置关系，层层递进，使学生把握从哪儿分析，学会分析，培养空间想象能力和定性定量分析问题的能力，提高解决此类问题的信心和能力。
