《2012年全国初中数学联赛试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年全国初中数学联赛试卷（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1（7分）已知，那么a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca2（7分）方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x，y）的组数为（）A3B4C5D63（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）ABCD4（7分）已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）AB0C1D5（7分）若方程x2+2px3p2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所有可能的值之和为（）A0BC1
2、D6（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d这样的四位数共有（）A36个B40个C44个D48个二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=_8（7分）使得52m+1是完全平方数的整数m的个数为_9（7分）在ABC中，已知AB=AC，A=40，P为AB上一点，ACP=20，则=_10（7分）已知实数a，b，c满足abc=1，a+b+c=4，则a2+b2+c2=_三、解答题（共3小题）11（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积12（25分）如图，PA为O的切线，PBC为O
3、的割线，ADOP于点D，ADC的外接圆与BC的另一个交点为E证明：BAE=ACB13（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2）两点，与y轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线设M（0，），若AMBC，求抛物线的解析式2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1（7分）已知，那么a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca考点：二次根式的混合运算；实数大小比较。 专题：计算题。分析：先求出a、b、c的倒数并分母有理化，然后根据一个数的倒数越大，则这个数越小，进行大小比较解答：解：a=1
4、，b=，c=2，=+1，=+，=+1=+1，+1+1+，0，因此bac故选C点评：本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，求差、求商或求倒数是实数大小比较常用的方法，本题想到求倒数，根据比较倒数的大小从而得出原数的大小是解题的关键2（7分）方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x，y）的组数为（）A3B4C5D6考点：非一次不定方程（组）。 分析：首先将原方程变形为：（x+y）2+2y2=34，即可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，可得新方程2t2+y2=17，解此方程即可求得答案解答：解：方程变形得：（x+y）2+2y2=34，34与2y2是偶数，x+y必须是偶数，设x+y=2
5、t，则原方程变为：（2t）2+2y2=34，2t2+y2=17，它的整数解为，则当y=3，t=2时，x=1；当y=3，t=2时，x=7；当y=3，t=2时，x=7；当y=3，t=2时，x=1原方程的整数解为：（1，3），（7，3），（7，3），（1，3）共4组故选B点评：此题考查了非一次不定方程的知识此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：（x+y）2+2y2=34，由x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，从而得新方程2t2+y2=173（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）ABC
6、D考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理。 分析：利用全等三角形的判定AAS得出ADFECF，进而得出FG是DCP的中位线，得出DG=GP=PE=DE=，再利用勾股定理得出BG的长即可解答：解：过点C作CPBG，交DE于点PBC=CE=1，CP是BEG的中位线，P为EG的中点又AD=CE=1，ADCE，在ADFECF中，ADFECF（AAS），CF=DF，又CPFG，FG是DCP的中位线，G为DP的中点CD=CE=1，DE=，因此DG=GP=PE=DE=连接BD，易知BDC=EDC=45，所以BDE=90又BD=，BG=故选：D点评：此题主要考查了正方形的性质以
7、及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键4（7分）已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）AB0C1D考点：二次函数的最值；完全平方公式。 专题：常规题型。分析：利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（ab）2=a22ab+b2求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答解答：解：（ab）2=a22ab+b20，2|ab|a2+b2=1，ab，令y=a4+ab+b4=（a2+b2）22a2b2+ab=2a2b2+ab+1=2（ab）2+，当ab时，y随ab的增大而增大，当ab时，y随ab的增
8、大而减小，故当ab=时，a4+ab+b4的最小值，为2（）2+=2+=0，即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=，此时a=，b=，或 a=，b=故选B点评：本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键5（7分）若方程x2+2px3p2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所有可能的值之和为（）A0BC1D考点：根与系数的关系。 分析：首先利用根与系数的关系得到两根与P的关系，然后利用得到有关p的方程，求得p值即可求得答案解答：解：由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=2p，x1x2=3p2，+=2
9、x1x2=4p2+6p+4，+=（x1+x2）3x1x2=2p（4p2+9p+6）+=4（+）得+=4（+），4p2+6p+4=4+2p（4p2+9p+6），p（4p+3）（p+1）=0，p1=0，p2=，p3=1代入检验可知：以p1=0，p2=均满足题意，p3=1不满足题意因此，实数p的所有可能的值之和为p1+p2=0+（）=故选B点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是正确的利用根与系数的关系得到有关p的方程并求解6（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d这样的四位数共有（）A36个B40个C44个D48个考点：数的十进制。 分析：由题意可
10、知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，（2）使用2个不同的数字，（3）使用3个不同的数字，（4）使用4个不同的数字，然后分别分析求解即可求得答案解答：解：根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个因此，这样的四位数共有64=24个（3）使用
11、3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个因此，满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个故选C点评：此题考查了整数的十进制表示法的知识此题难度较大，解题的关键是注意掌握分类讨论思想的应用，注意可以从使用的不同数字的个数分类考虑二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=1考点：对称式
12、和轮换对称式。 分析：首先设a+=t，可得b=，代入b+=t，整理可得ct2（ac+1）t+（ac）=0 ，又由c+=t，可得ac+1=at，将代入，即可得（ca）（t21）=0，又由实数a，b，c互不相等，即可求得答案解答：解：设a+=t，则b=，代入b+=t，得：+=t，整理得：ct2（ac+1）t+（ac）=0 又由c+=t，可得ac+1=at，把代入式得ct2at2+（ac）=0，即（ca）（t21）=0，又ca，t21=0，t=1验证可知：b=，c=时，t=1； b=，c=时，t=1t=1故答案为：1点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识此题难度比较大，注意设a+=t，从而得到方程ct2（ac+1）t+（ac）=0 与ac+1=at是解此题的关键8（7分）使得52m+1是完全平方数的整数m的个数为1考点：完全平方数。 分析：由52m+1是完全平方数，可设52m+1=n2 （其中n为正整数），可得52m=n21=（n+1）（n1），即可得n为奇数，然后设n=2k1（其中k是正整数），即可得方程组 或 或，解方程组即可求得答案解答：解：设52m+1=n2 （其中n为正整数），则52m=n21=（n+1）（n1），52m是偶数，n为奇数，设n=2k1（其中k是正整数），则52m=4k（k1），即52m2=k（k1）显然k1，k和k1互质，或 或，解得：k=5，m=4
