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1、第六讲几何轨迹几何轨迹的基本知识一、轨迹的意义1定义给定条件或性质C，满足条件C的一切点所构成的图形F,称为由条件C所决定的轨迹。2轨迹命题的两面证明：“不漏不滥”（1）完备性：符合条件C的任何点都在图形F上，或不在F上的任一点均不满足条件C。即点无遗漏。（2）纯粹性：在图形F上的任一点都符合条件C；或不符合条件C的任一点都不在图形F上。保证图形F上的点没有鱼目混珠或冒充的点。一般来说，图形F是知其形而不知其性，轨迹是知其性而不知其形。研究轨迹问题，就是探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使形和性得到完美统一。3轨迹命题的三种类型轨迹问题根据结论部分叙述是否完整可分为三种类型：第I类：
2、命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置和大小。第II类：命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置和大小或缺，或叙述不全。第III类：命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息。一般把第I类、第II类命题称为轨迹定理，把第III类命题称为轨迹问题。二、基本轨迹命题命题1和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。命题2和两个定点距离相等的点的轨迹是连结这两个定点的线段的中垂线。命题3和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长的两条平行线。命题4与两条平行线距离相等的点的轨迹是和这
3、两条平行线距离相等的一条平行线。命题5与相交两直线距离相等的点的轨迹，是分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线。命题6对已知线段的视角等于定角的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于的两段弓形弧。命题7和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为球心，定长为半径的球面。命题8和两条平行线距离相等的点的轨迹是这两平行直线公垂线段的中垂面。命题9和两条定相交直线距离相等的点的轨迹，是通过这两条直线所成角的平分线。且与已知两直线所在平面垂直的两相交平面。命题10和一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是以这条定直线为轴，半径等于定长的一个圆柱面。命题11和一条定线段的两端连线所张成的角等于直角的
4、点的轨迹，是以这条定线段为直径的一个球面。各种轨迹类型命题举例一、第I类轨迹命题这类问题的求解步骤为： 写出已知与求证；证明完备性与纯粹性；作出结论。例1设一点到矩形的一双对顶的距离之和等于到另一双对顶的距离之和，则其轨迹为矩形的两条对称轴。已知：ABCD是矩形，和是它的对称轴，P是适合条件（i）的点。求证：点P的轨迹是直线和.证明：（1）完备性证满足条件（i）的点必在直线或上.由得以O表示AC与BD的交点，则PO是PAC和PBD的中线，由斯特瓦尔特定理知由上知及从而所以或又所以或即满足条件（i）的点P不在上便在上。（2）证纯粹性即证在直线或上的点满足条件（i）。由图形的对称性，这是显然的。（
5、3）得结论由上知，所求轨迹是直线和.例2给定直角，一条定长（记为）的线段AB在角的两边上滑动，则AB中点的轨迹是以O为中心，以为半径的圆被角两边所截的圆弧（如图）证明：（1）完备性设P为AB的中点，则P为直角三角形OAB斜边中点，有，即P在上。（2）纯粹性在上任取一点P，下面证经过P存在长为且两端在的两边上的线段AB。现作交角的两边于A、B，由于为直角，又，于是，即A、P、B共线，于是AB为的直径，从而，即P是一条定长线段AB的中点。（3）结论：所求轨迹是以O为中心，以为半径的圆被角两边所截的圆弧.二、第II类轨迹命题第II类轨迹命题，明白说出轨迹形状，至于位置和大小，或叙述不全或干脆不说，解
6、决这类问题，分三步：探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全确定。证明完备性和纯粹性，并下结论。讨论，即研究所给定的条件对轨迹的影响。例3和两定点距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。设A、B为定点，点M的轨迹使，为定常数探求：若一点M满足此条件，则M关于AB的对称点也满足此条件，即所求轨迹以AB为对称轴，那么就是直径在直线AB上的圆。设内分线段AB于C，外分线段AB于D，使那么C、D满足条件，轨迹可能是以CD为直径的圆周。（1）完备性如下图，设M为符合而不在AB上的任一点，由于，由三角形内外角平分线的性质知MC、MD分别是的内外角平分线，从而，故M在以CD为直径的圆
7、周上。（2）纯粹性如下图，设M为圆上异于C、D的任一点，过M作交DC于。下证=.由于MC为的内角平分线且知MD为的外角平分线，则有（内、外角平分线的性质）又由假设从而，又和均在C的同侧，故和重合。. 例4到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能缩为一点），称为定和幂圆。设A、B为定点（如下图），为定长，求点M的轨迹，使满足条件.探求：若M符合条件，则M关于直线AB的对称点及M关于AB的中垂线的对称点也都符合条件。可见轨迹以AB和为对称轴，故可能是以AB的中点为中心的圆。证明：（1）完备性设M符合条件，连MO，由斯特瓦尔特定理知，于是即M在上，其中由上式给出。（2）纯粹性反之
8、，设M为上任一点，有即M符合所给条件。（3）讨论当时，轨迹为圆；当 时，轨迹为一孤立点；当时，轨迹不存在，即没有适合条件的点。例5到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线，称为等差幂线。设A、B为两定点（如下图），为常数（正、负或零），求满足条件的点的轨迹。探求：点M满足条件，则M关于AB的对称点也满足条件，故若轨迹是直线，就一定对称于AB，因而与AB垂直，只须知道这直线和AB的交点N，轨迹就完全定了。由故由上式定一点N，及通过N垂直于AB的直线.证明：（1）由探求过程知，符合条件的点M在过N且垂直于AB的直线上。（2）反之，在上任取一点M，有，即点M满足条件。（3）
9、讨论当时，是AB的中垂线；当时，可看作满足条件的轨迹是关于AB中垂线的对称线。三、第III类轨迹命题与解决第II类轨迹命题一样，只是探求较麻烦。探求轨迹的有效步骤为： 描迹按所给条件作出轨迹上若干点，连以平滑曲线，往往可发现轨迹的形状及大体位置，是直观有效的初步方法。 预测轨迹的性质，主要观察轨迹的对称性及范围。i）若所给图形及条件均有对称性，则轨迹有相应的对称性，如轴对称和中心对称；ii）轨迹上有可达任意远处的点，且无（有）端点，轨迹为直线（射线）；iii）轨迹上没有可达任意远处的点，轨迹为线段、圆或圆弧，若有起讫，则是圆弧或线段。 确定特殊点 研究任意点和特殊点的关系如上一步或几步骤，足可
10、判断轨迹，然后加以证明，必要时进行讨论。例6从已知半圆直径AB延长线上任取一点C，作切线CT及的平分线，从圆心作这平分线的垂线，求垂足M的轨迹。探求：作，若时，CT趋而为B的切线，角平分线为BD，点M为BD的中点G。由图形的对称性知，G关于OD的对称点H也应为轨迹上一点。若C趋向无穷远，则切线趋而为点D的切线，角平分线为OD的中垂线，点M为P。故G、H、P在轨迹上且共线（距AB均为），预测轨迹为线段GH.证明：（1）设M是符合条件的点，下证M在GH上。由探求过程知，当C在以B（A）为端点的射线上连续移动时，点M由G（H）连续移动到点P，只须证明M到AB的距离即可。设OM交CT于N，并作，显然M
11、是等腰底边ON的中点，故。（2）设M为GH上一点，下证M符合条件。作，MC与AB的延长线交于点C，作OC关于MC的对称线CN形成等腰CON，作，则，即CT为切线。注：若着眼函数关系，设M为符合条件的任一点，设，则故M在线段GH上。例7设BC是定半圆的直径，从半圆周上动点A作，在半径OA上截OPAD，当点A描画半圆周时，点P的轨迹为何？探求：动点A在B处，显然OPAD0，P重合于O，即O为轨迹上一点；若A在的中点M时，AD重合于MO，P重合于M，即M在轨迹上。下面考察特殊点O、M与一般点P的关系。显然有，因此，又图形与条件均以OM为对称轴，轨迹也以OM为对称轴，故可判断轨迹是以OM为直径的圆。证
12、明：（1）完备性由探求已证。（2）纯粹性 在这圆上任取一点P异于O、M，A表示OP与半圆周的交点，作，则由与斜边等，一锐角相等，故，即P符合条件。我们说明的轨迹命题的两面证明（即一方面证明合于条件C的点在图形F上，另一方面证明图形F上的点合于条件C），乃是轨迹定义的必然要求，使得轨迹上的点不漏不滥。我们所选的例子都是那样典型，恰巧每次都是合于条件C的点在图形F上，而图形F上的点又个个合于条件C，乃至可能引起这样的误解：认为证明一面已经够了，两面证明徒然麻烦而已。现在通过一个具体例子说明事实并非如此。在处理轨迹问题时，一不小心便犯下错误。例8BC是给定等腰三角形ABC的底边，求合于条件的点P的轨
13、迹。分析 给定图形即等腰和给定条件都允许以BC的中垂线为对称轴。显然上的点满足条件。但若以为所求轨迹即是直线，却错了。设P为合于条件的点，则两个三角形ABP和ACP有一边相等，即，而这两边的对角也相等，即，所以这两三角形的外接圆相等。在同圆或等圆中，对于等弦AP上的内接角和是相等或相补的。1）若，则，从而，故点P必在BC的中垂线上。2）若和相补，且A、B、C、P无三点共线，则P在外接圆的上。3）若A、B、C、P有三点共线，则P在以B为端点的射线上，或在以C为端点的射线上。容易证明，所求轨迹是由直线、射线及、圆弧所组成的复合图形。思考题：给定以AB为弦的弓形，P为弧上动点，延长AP到M，使PMPB，求点M的轨迹。探求：当时，M即为B点；当时，AP趋于A的切线AT，截取ATAB，则M点为T点；这说明轨迹有起讫。P为内一点，如图，必有，故M落在B点起且以AB为弦内接角等于的圆弧.证明：自证。电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究9
