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1、2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答选择题答案123456DBBACA填空题答案1234567810434128111979, 1985, 1991, 2003一、选择题(满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方,答对得6分,答错或不答均计0分)1已知集合A=1, 2, 3, 4, 5,B=2, 3, 4, 5, 6,则集合C=(a, b)|aA, bB, 且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的元素个数为 1 2 3 4 5 xy6 5 4 3 2 1 y=x(A)7 (B)8 (C)9 (D)10解 当a0,b0时,x2+2ax+
2、b2=0有实根的充要条件为ab. 设集合D=(a, b)|aA, bB,D的元素个数为55=25个,而C是D的子集,因此,集合C的元素如右面的整点图中的黑点所示:因此, C的元素个数等于102已知,则+等于(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解 y=ABFGDEOHCxy3如图所示,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图像上,若A点的坐标为(2, 2),则k等于(A)2 (B)1 (C)0 (D)1 解 因为矩形的对角线平分矩形的面积,所以矩形CHOG的面积 = 矩形OFAE的面积 = |2|2|= 4即 3k+1=OGGC= 4,因此k
3、=14定义在R上的偶函数f (x),满足f (x+1)=f (x),且在区间1, 0上递增,则 (A) (B) (C) (D) 解 根据题意f (x)=f (x+1) =f (x+2)= f (x+2),因为f (x)是偶函数,即f (a)= f (a), 则,而 120,f (x)在区间1, 0上递增, 所以5由1开始的连续n个正整数相乘,简记为n!=12n, 如3!=123=6,10!=12345678910=等等,则等于 (A)(B)(C)(D) 解 因为,所以 PDABCNMO6如图,正方形ABCD内接于O,P为劣弧上一点,PA交BD于点M,PB交AC于点N,记PAC=,若MNPA,则
4、2cos2tan的值等于(A)1 (B) (C) (D)解 四边形ABCD是正方形, ACB=45,DBAC, APB=ACB=45, MNPA, MNP=APB=45, MP=MN AC为圆的直径,APC=90,P、M、O、C四点共圆 AMAP= AOAC因此2cos2 tan 二、填空题(满分64分,每小题8分,请将答案填入第1页指定地方) 1求的值 解 注意到sin2+sin2(90)= sin2+cos2=1,sin245=,n为正整数时,tanntann(90)= tanncotn=(tancot)n=1,tan45=1,则 2f (x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f (x)=2
5、x+2x+b (b为常数),求f (10)的值解 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即20+20+b=0,得b=1由奇函数的性质f (x)=f (x),有若x0,即x0,则f (x)= f (x)=2x2x1, 即f (x)= 2x+2x+1 (x0)所以f (10)= 210210+1= 10433若实数x, y, z满足方程,试确定(5x+3y3z)2013的末位数字解 易见x7,则4,而0,又x, y, z满足方程,所以= 4,且=0所以 x=7,x+yz=0,(5x+3y3z)2013 =,这个数的末位数字为4ABCDEFGIH4如右图,正方形ABCD被分成了面积相等
6、的8个三角形,如果AG=,求正方形ABCD面积的值解 过F作KL/DC,取AB的中点N,延长GN交AH于P, 设正方形ABCD的边长为a,ABCDEFPIHLKGN由于DCI、ABH的面积都是正方形ABCD面积的,所以CI=BH=BC= 由ADF的面积=DCL的面积的2倍,得所以KF=2CI所以F为DI中点易见,E是AF的中点,由FAG、FHG的面积相等,可得AP=PH,即FP为FAH的一条中线,因此F、P,N是一条直线同理可证,HG的延长线必过AE的中点E,所以HE为FAH的另一条中线,中线FP与HE的交点G为FAH的重心,注意FP为梯形AHID的中位线,FP/BC,所以 ,所以,所以 而A
7、N=,根据勾股定理,有,即,所以a2=1285已知实数m、n满足mn=,m23n2为质数若m23n2的最大值为a,最小值为b试确定ab的值解 设m23n2=p (p为质数) 由mn=,得m=+ n, 把式代入式得(+ n)23n2= p,整理得2n22n+p10=0, =408p+800, p15 p的最大值a=13,最小值b=2 , ab=116在ABC的边BC上有一点D,ADB是锐角,P、Q分别是ABD、ACD的外心,且四边形APDQ面积是ABC面积的求sinADB的值解 连结PQ,易证AQPDQP,由已知得,易证:APQABC,所以,所以 连结QC,作QHAC于H,则所以 sinADB=
8、 sinAQH= 7S(x)表示自然数x的数字和,试确定方程x+S(x)+S(S(x)=2013的解集解 显然x2013,而S(x)最大为28,S(S(x)最大为10,因此x最小为201338=1975因此1975x2013,容易试验得x=2003,S(2003)=5,S(S(2003)=5,2003+5+5=2013;x=1991,S(1991)=20,S(S(1991)=2,1991+20+2=2013;x=1985,S(1985)=23,S(S(1985)=5,1985+23+5=2013;x=1979,S(1979)=26,S(S(1979)=8,1979+26+8=2013除此之外的
9、x都不满足方程,所以解集是1979, 1985, 1991, 2003BCADPEFKmnO8直角ABC中,内切圆O切斜边AB于D,切BC于E,切CA于F,作DKAC于K,DPBC于P,已知AD=m,BD=n,试确定矩形CKDP的面积(用m,n来表示)解 设内切圆半径为r,连接OD,OE,OF,如图,则OD=OE=OF= r由切线长定理得AD=AF=m,BD=BE=n,CE=CF=r 设ABC的半周长为p,面积为S,则p=r+m+n,所以 即 2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn 因为S=rp,代入上式得 S= mn 因为DK/BC,所以 ADKABC,所以 ,同理可得, 因此,矩形CKDP的面积 = 由于考前忙于复习,基本不会花时间了解有关信息,等高考结束后,又不知如何了解到有效信息。所以,无论考前还是考后,家长在报考学校这一环节付出精力较多,也愿意出资获取信息帮助孩子多了解高校信息2013年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答 第5页 共6页