《2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答选择题答案123456DBBACA填空题答案1234567810434128111979, 1985, 1991, 2003一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）1已知集合A=1, 2, 3, 4, 5，B=2, 3, 4, 5, 6，则集合C=(a, b)|aA, bB, 且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的元素个数为 1 2 3 4 5 xy6 5 4 3 2 1 y=x（A）7 （B）8 （C）9 （D）10解 当a0，b0时，x2+2ax+
2、b2=0有实根的充要条件为ab. 设集合D=(a, b)|aA, bB，D的元素个数为55=25个，而C是D的子集，因此，集合C的元素如右面的整点图中的黑点所示：因此, C的元素个数等于102已知，则+等于（A）7 （B）8 （C）9 （D）10 解 y=ABFGDEOHCxy3如图所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图像上，若A点的坐标为(2, 2)，则k等于（A）2 （B）1 （C）0 （D）1 解 因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以矩形CHOG的面积 = 矩形OFAE的面积 = |2|2|= 4即 3k+1=OGGC= 4，因此k
3、=14定义在R上的偶函数f (x)，满足f (x+1)=f (x)，且在区间1, 0上递增，则 （A） （B） （C） （D） 解 根据题意f (x)=f (x+1) =f (x+2)= f (x+2)，因为f (x)是偶函数，即f (a)= f (a)， 则，而 120，f (x)在区间1, 0上递增， 所以5由1开始的连续n个正整数相乘，简记为n!=12n， 如3!=123=6，10!=12345678910=等等，则等于 （A）（B）（C）（D） 解 因为，所以 PDABCNMO6如图，正方形ABCD内接于O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记PAC=，若MNPA，则
4、2cos2tan的值等于（A）1 （B） （C） （D）解 四边形ABCD是正方形， ACB=45，DBAC， APB=ACB=45， MNPA， MNP=APB=45， MP=MN AC为圆的直径，APC=90，P、M、O、C四点共圆 AMAP= AOAC因此2cos2 tan 二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方） 1求的值 解 注意到sin2+sin2(90)= sin2+cos2=1，sin245=，n为正整数时，tanntann(90)= tanncotn=(tancot)n=1，tan45=1，则 2f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)=2
5、x+2x+b (b为常数)，求f (10)的值解 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即20+20+b=0，得b=1由奇函数的性质f (x)=f (x)，有若x0，即x0，则f (x)= f (x)=2x2x1， 即f (x)= 2x+2x+1 (x0)所以f (10)= 210210+1= 10433若实数x, y, z满足方程，试确定(5x+3y3z)2013的末位数字解 易见x7，则4，而0，又x, y, z满足方程，所以= 4，且=0所以 x=7，x+yz=0，(5x+3y3z)2013 =，这个数的末位数字为4ABCDEFGIH4如右图，正方形ABCD被分成了面积相等
6、的8个三角形，如果AG=，求正方形ABCD面积的值解 过F作KL/DC，取AB的中点N，延长GN交AH于P， 设正方形ABCD的边长为a，ABCDEFPIHLKGN由于DCI、ABH的面积都是正方形ABCD面积的，所以CI=BH=BC= 由ADF的面积=DCL的面积的2倍，得所以KF=2CI所以F为DI中点易见，E是AF的中点，由FAG、FHG的面积相等，可得AP=PH，即FP为FAH的一条中线，因此F、P，N是一条直线同理可证，HG的延长线必过AE的中点E，所以HE为FAH的另一条中线，中线FP与HE的交点G为FAH的重心，注意FP为梯形AHID的中位线，FP/BC，所以 ，所以，所以 而A
7、N=，根据勾股定理，有，即，所以a2=1285已知实数m、n满足mn=，m23n2为质数若m23n2的最大值为a，最小值为b试确定ab的值解 设m23n2=p （p为质数） 由mn=，得m=+ n， 把式代入式得(+ n)23n2= p，整理得2n22n+p10=0， =408p+800， p15 p的最大值a=13，最小值b=2 ， ab=116在ABC的边BC上有一点D，ADB是锐角，P、Q分别是ABD、ACD的外心，且四边形APDQ面积是ABC面积的求sinADB的值解 连结PQ，易证AQPDQP，由已知得，易证：APQABC，所以，所以 连结QC，作QHAC于H，则所以 sinADB=
8、 sinAQH= 7S(x)表示自然数x的数字和，试确定方程x+S(x)+S(S(x)=2013的解集解 显然x2013，而S(x)最大为28，S(S(x)最大为10，因此x最小为201338=1975因此1975x2013，容易试验得x=2003，S(2003)=5，S(S(2003)=5，2003+5+5=2013；x=1991，S(1991)=20，S(S(1991)=2，1991+20+2=2013；x=1985，S(1985)=23，S(S(1985)=5，1985+23+5=2013；x=1979，S(1979)=26，S(S(1979)=8，1979+26+8=2013除此之外的
9、x都不满足方程，所以解集是1979, 1985, 1991, 2003BCADPEFKmnO8直角ABC中，内切圆O切斜边AB于D，切BC于E，切CA于F，作DKAC于K，DPBC于P，已知AD=m，BD=n，试确定矩形CKDP的面积（用m，n来表示）解 设内切圆半径为r，连接OD，OE，OF，如图，则OD=OE=OF= r由切线长定理得AD=AF=m，BD=BE=n，CE=CF=r 设ABC的半周长为p，面积为S，则p=r+m+n，所以 即 2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn 因为S=rp，代入上式得 S= mn 因为DK/BC，所以 ADKABC，所以 ，同理可得， 因此，矩形CKDP的面积 = 由于考前忙于复习，基本不会花时间了解有关信息，等高考结束后，又不知如何了解到有效信息。所以，无论考前还是考后，家长在报考学校这一环节付出精力较多，也愿意出资获取信息帮助孩子多了解高校信息2013年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答 第5页 共6页
