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1、2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合同时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当,是不同的集对,那么“好集对”一共有()个。.设函数,为( )3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( ) 4.在直角中, ,为斜边上的高,D为垂足. .设数列的通项为则( )5.在正整数构成的数列1.3.5.7删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有_种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为 9.若
2、正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为_11.函数的迭代的函数定义为其中=2,3,4设,则方程组的解为_12.设平行四边形中,则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_三解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合). 1)若为钝角或平角(为原点), 试确定的斜率的取值范围. 2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由.
3、3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14. 数列由下式确定: ,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15. 设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时, 的取值.07年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个,但不能同时属于A和B,有2种选择:属于A但不属于B,属于B但不属于A.同理,元素3和4也有2种选择.但元素2,3,4不能同时不属于A,也不能同时不属于B.所以4个元素满足条件的选择共有种
4、.换句话说,“好集对”一共有6个. 答:C.第2题解答过程令,则,且,.从而. 令,则题设方程为 ,即,故 , ,解得 . 从而 . 答:A.第3解答过程 注意 ,2,7和9两两互质. 因为 (mod2), (mod9),所以(mod18). (1)又因为,(mod7),所以(mod7). (2),(1),(2)两式以及7和18互质,知(mod126). 答:C. 另解:,所以 ,其中B,C为整数.从而,其中D,E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数,所以A除以126的余数也为6. 答:C.第4解答过程易见,即,又已知,故,;,.显然是首项为,公比为的等比数列的前项和.故, .即 ,
5、 .故答案为A.(易知其余答案均不成立)另解:易见,即,又已知,故,.解得, .显然是首项为,公比为的等比数列的前项和,故, . 于是数列就是斐波那契数列1,2,3,5,8,13,21,它满足递推关系 . 所以答案为A.第5题解答过程可看成是在正整数数列1,2,3,4,5,6,7,中删去所有能被2,5或11整除的项之后,把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理,1,2,3,4,中不能被2,5或11整除的项的个数为,其中不表示不大于的最大整数,即的整数部分.估值:设,故 .又因=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007,并且5519不是2,5,11
6、的倍数,从而知. 答:B. 又解:可看成是在正整数数列1,2,3,4,5,6,7,中删去所有能被2,5 或11整除的项之后,把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2,5,11是质数,它们的最小公倍数为110.易见,-54,-53,0,1,2,3,55中不能被2,5,11整除的数为,共40个.(或由欧拉公式,1,2,3,110中不能被2,5,11整除的数的个数,等于1,2,3,110中与110互质的数的个数,等于.) 显然1,2,3,中每连续110个整数,不能被2,5,11整除的数都有40个.所以,1,2,3,中,不能被2,5,11整除的数有个.大于5500中的数不能被2,5,11整除的,是
7、5500+1,5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17,5500+19,.所以5519是第2007个不能被2,5,11整除的数,亦即所求的. 答:B .第6题解答过程显然 ; .注意到, ,所以 , .故. 答:D.另解:, =.因为和是实数,所以, ,.答:D.第7解答过程解:设ABC三边长为整数,成等差数列,为钝角,则必有,.易解得 ,;,即.因此,即.另外,.易检验都是钝角三角形. 答:4.第8题解答过程注意到,满足,故可令,0.从而,-,-,故,+. 取实数,当且仅当,当且仅当,Z.满足此条件且的最小正整数为,此时.答:-1. 第9题解答过程易见奇异数有
8、两类:第一类是质数的立方(是质数);第二类是两个不同质数的乘积(为不同的质数).由定义可得是奇异数(第一类);不是奇异数;是奇异数(第二类);是奇异数(第二类);是奇异数(第一类);是质数,不是奇异数;是奇异数(第一类);是奇异数(第二类);是奇异数(第二类);是奇异数(第二类).答:8.第10解答过程解:将向量,分别记为,. 则,且易见, , , .所以 =55,故. 类似地,可算得,=3.答:,3.第11题解答过程令,易见,;令,易见,.因此,题设方程组可化为 (1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)得 所以. 代入(1)得 , , , .所以原方程组的解为. 答:.第12题解答过程
9、.以表示平面图形绕直线所得旋转体体积.记直线为,作,交于,分别交,于.过作,分别交于.由于是的中点,所以分别是的中点.由对称性,易见所求旋转体体积为.由于,易见,.显然,.且,.从而由圆锥体积公式得 .又,.从而由圆锥体积公式得.从而.答:所求体积为:第13题解答过程解:I)可设:,与联立得. 这是的一元二次方程,由判别式解得.记,则 ,.由题设条件, ,即,得 ,即,即 .得, , ,.故的斜率的取值范围为.因为F(1,0),所以,从而 .与共线, 即与F、B三点共线.III)假设,过的直线与交于A、B,且A关于长轴的对称点为,如果、F、B三点共线.我们另取点.设直线AP与交于,那么如II)
10、的证明,、F、B三点必共线.故B与重合,从而直线AB和重合,就是AQ与AP重合.所以P与Q重合,与假设矛盾.这就是说,时,三点、F、B不能共线.第14题解答过程14.解:, , ,.故 ,亦即 ,由得 . (*)由于,且显然,故是递减数列,且,故 ,由(*)式得 ,. 第15题解答过程证明:因为ABC是锐角三角形,其三边满足,以及 .因此,由平均不等式可知 ,从而 ,亦即 ,.ABxoQABxoQA1FllAA1B1C1D1BCDABCDQMPNOFE上式取等式当且仅当,亦即.因此所求的的最大值为,当取最大值时,.yy(第13题答图) (第10题答图) (第12题答图)2008年安徽高中数学竞
11、赛初赛试题一、选择题1.若函数的图象绕原点顺时针旋转后,与函数的图象重合,则( )(A)(B)(C)(D)2.平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为( )(A)椭圆(B)双曲线的一部分(C)抛物线的一部分 (D)矩形3.下列4个数中与最接近的是( )(A)-2008 (B)-1(C)1(D)20084.四面体的6个二面角中至多可能有( )个钝角。(A)3(B)4(C)5(D)65.写成十进制循环小数的形式,其循环节的长度为( )(A)30 (B)40(C)50(D)606.设多项式,则中共有( )个是偶数。(A)127(B)1003(C)1005(D)1881二、填空题7.化简多项式
12、 8.函数的值域为 9.若数列满足,且具有最小正周期2008,则 10.设非负数的和等于1,则的最大值为 11.设点A,B、C在椭圆上,当直线BC的方程为 时,的面积最大。12.平面点集,易知可被1 个三角形覆盖(即各点在某个三角形的边上),可被2个三角形覆盖,则覆盖需要 个三角形。三、解答题13.将6个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各2个)随机放入3个盒子中,每个盒子中恰好放2个小球,记为盒中小于颜色相同的盒子的个数,求的分布。14.设,其中表示不超过x的最大整数。证明:无论取何正整数时,不在数列的素数只有有限多个。15.设圆与圆相交于A,B两点,圆分别与圆,圆外切于C,D,直线EF分别与圆,圆相切于E,F,直线CE与直线DF相交于G,证明:A,B,G三点共线。08年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1D2D3B4A5C6D二、填空题(本题满分54分,每小题9分)789,正整数且与2008互素。101112三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13。(2分)。(6分)。(6分)。(6分)14。(2分)当时