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1、八年级 上册,13.4 课题学习 最短路径问题,引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,引入新知,活动1:两点在一条直线的异侧： 已知：如图，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 C，使得这个点C到点 A，B 的距离之和最短，即 CA+CB 最小。 思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证 CA+CB 最短呢？,B,A,l,C,C,解；连接AB交直线L于点C。则点C就是
2、求作的点,使得CA+CB的值最小。,探究流程： （1）初探，任取一点（初探点），移动初探点直至各路 径与某一定线段定线段共线（且各路径之和等于某一定线段的长）于是得到求作点， （2）尺规作图 （3）说明理由,理由如下：:在直线L上任取一点C（与点 C不重合），在A CB中， C A+ C BAB=CA+CB即 C A+ C BCA+CB所以CA+CB的值最小。,问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
3、,探索新知,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,探索新知,探索新知,追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）,追问1 对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处，满足直线l 上
4、的任意一点 C，都保持CB 与CB的长度 相等？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,追问2 你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B吗？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,C,B,（2）连接AB，与直线l 相交 于点C则点C 即为所求,作法： （1）作
5、点B 关于直线l 的对称点B；,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC 在ABC中， AC+BC AB =AC+CB， AC+BC AC +BC 即 AC +BC 最短,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,探索新知,追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,探索新知,追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？,归纳小结,（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？,教科书复习题13第15题,布置作业,
