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1、初、高中数学教学衔接的要求(仅针对高中数学教师教学参考补充资料)今天讲座的前提是，按照数学教学大纲或课程标准及相应教材的内容和教学要求进行了基础知识、基本技能和基本数学思想方法的复习后，如何更深入地作好专题拓展。有些工作可能需要初三数学教师与高一教师共同协作才能完成。数学课程标准提出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。我市通过近四年的课程标准实验，取得许多有益的经验和成效，数学教学的软、硬件环境得到极大提升，但我们还是发现，在关注基础性和普及性方面做得比较成功之外，对
2、发展性要求仅仅停留在口头形式上，仍未得到充分的重视。“不同的人在数学上得到不同的发展”的教育目标没有得到具体的落实。尤其在中考的压力下，相当多的教师只关注应考成绩和升学率，教学与复习时瞄着中考试卷中试题的考查要求，而漠视具有数学潜能的学生的数学需求。在今年秋季即将全面实施高中课程标准的背景下，初、高中数学教学衔接已摆在议事日程上。特别是高中课程标准与初中课程标准之间在某些知识与能力的要求部分的脱节，造成数学结构体系在一些重要知识点上的隔裂，为学生在高中数学学习中带来极大的障碍。在当前初三总复习的关键时刻，很有必要谈谈这方面问题。并尽可能在每一部份对衔接的要求及具体做法举一些范例加以说明。总体要
3、求一、 初中阶段重点内容的延伸、拓展：与高中内容紧密联系，或按课程标准，初中已删、减，而高中教材未作相应改变的内容；二、 高中阶段难点内容的铺垫、渗透：在初中相关内容的背景下，借助开放性、探索性问题和课题学习等形式初步接触相关概念；三、 引导学生进行探究性学习：问题的提出和例题、习题的设计有利于启发学生联想与应用数学数学思想、方法，培养学生自主探索的习惯与能力。注：立足初中内容，但不是重复；渗透高中知识，并非简单的提前教学；面对具有数学潜能的学生，以数学思想、方法的渗透为主线，以提高学生能力为宗旨。具体问题第一部分 代数式11乘法公式一些具有特殊形式的多项式乘法，今后会经常用到。探索和发现新的
4、乘法公式与方法。111“十字相乘法”含有相同字母的两个一次二项式相乘，是多项式运算中最基本，应用最多的运算。通常为如下的形式：(ax+b)(cx+d)（a、b、c、d是常数）容易知道：积的二次项系数是ac，常数项是bd，一般情acbd图1-1况下一次项系数比较容易出错。借助图形来计算：将两个因式的系数依次排列为如图1-1，两斜线连结的数分别相乘，将所得的积相加就是积的一次项系数。(ax+b)(cx+d) =acx2+(ad+bc)x+bd.例1计算：（1） (2x+3)(x-5)；（2）(a+2b)(2a-3b).112“三数和的平方” aabcbc图1-2用两数和的平方公式直接推出，将(a+
5、b+c)2改写成(a+b)+c2，展开、整理成具有对称美的数学公式：三数和的平方，等于它们平方的和再加上它们两两乘积的2倍。(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.请用图1-2中正方形的面积关系来解释公式中的数量关系。例2计算：（1） (2x-y+3z)2；（2）(a+2b+3c)2-(a+3c)2.12因式分解在分式运算及解方程中会经常用到。实质上我们知道，因式分解是整式乘法的逆变形，在上节中得到的公式和法则同样能应用于一些特殊的多项式分解因式。例3将下列各式分解因式：（1）6x2-11x+3;（2）a2+2ab-8b2;（3）x4+4xy3.13分式分式有意义的条件是分
6、母不能为零，这也是进行分式运算、讨论分式相关问题的基本出发点。例4解答下列问题：（1）求代数式中字母a的取值范围；（2）当x取何值时，代数式的值是正数；（3）已知，写出用R1、R表示R2的公式.14根式显然，开n次方和求n次幂互为逆运算，注意到偶次方根的被开方数（或式）必须是非负数。这里还潜移默化着分类讨论的思想方法。例5化简根式（x是实数）.第二部分 方程与不等式21三元一次方程组基本思想是通过“消元”、“换元”转化为一元一次方程，很清晰地渗透出转化思想方法。例6解下列方程组（1）（2）22一元二次方程的根的判别式由一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的配方过程可得到只有当b2-4ac0
7、时，才能直接开平方，得用符号“”来表示即=b2-4ac，可探索得到：=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；=b2-4ac0时，方程没有实数根。上述逆命题也是正确的，为今后进一步了解逆否命题和初步体会反证法的含义和依据做好铺垫。例7已知关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-2=0， m取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？例8已知关于x的方程k2x2+(2k+1)x+1=0有实数根，求k的取值范围.23一元二次方程的根与系数的关系通过对一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公
8、式进行“加”和“乘”的运算，很容易就能知道：。同时加强了对式运算的训练。例9已知x1、x2是方程3x2-5x-6=0的两根，求下列各式的值：（1）（2）x12+x22 .例10若一个斜边长为10的直角三角形，它的两条直角边的长分别是关于x的方程x2-(2m-2)x+5m+8=0的两根，求m的值.例11已知抛物线y=x2-(m+2)x-4m在x轴上截得线段的长为5，求m的值.24不等式了解“绝对不等式”如，x2+20,其中x取任意实数，不等式总成立；了解“矛盾不等式”如，x-1x+1,不论x取何值，不等式均不成立。第三部分 函数31分段函数函数关系通常用含有自变量x的一个代数式表示，相应函数的图
9、象是连续的曲线（或直线）。但有时却对一些较复杂的问题，要分不同情况讨论。让学生感受到局部与整体之间的关系。例12已知函数当时，y=a，求当x=a时，函数y的值.注：分段函数的自变量取值范围是各段函数解析式的自变量取值范围的“总和”；分段函数中函数值的变化范围是各段函数中函数值范围的“总和”32函数图象的变换初中阶段对函数性质的认识，主要是通过对函数图象的观察、归纳得到的，反映了形与数之间特有的相互关联。要研究图象变换的一般规律，以便更好研究函数的性质。并能够强化对形数结合思想的认识。例13（1）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得到抛物线的解析式；（2）将直线y=3x-4沿x轴
10、对折，求所得图象的函数解析式.33二次函数的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）是初中函数学习的主要内容，也是是高中学习的重要基础。要进一步熟悉二次函数及其应用的知识，探索与今后学习相关的一些内容，做到解题中要灵活、综合应用。例14已知二次函数的图象经过点(-1,0)、(5,0)，函数的最大值是6，求函数解析式.例15二次函数y=2x2-(m-1)x-2m+3中，已知当x2时，函数的值随自变量的增加而增加，求m的取值范围.例16画出函数y=x2-2x-1的图象，利用图象说明：（1）当x 取何值时，y=0?（2）当x取何值时，y0？（3）当x 取何值时，y0?例17已
11、知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2.（1）证明：不论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点；（2）分别求出抛物线与x轴的交点A、B的横坐标xA、xB,与y轴的交点C的纵坐标yC（用含m的代数式表示）；（3）设ABC的面积为6，且A、B两点在y轴同侧，求抛物线的解析式.34给定范围内二次函数的最值如果限制自变量x在某个范围内取值，如mxn(m、n是常数)时，求二次函数的最大或最小值。而生活实际往往只反映了一个函数的局部性质。例18求下列函数的最大和最小值：（1）函数的自变量x取值范围为-1x4；（2）函数的自变量x取值范围满足1x3.35一元二次方程的实根分布xoy图3-1依据二次方程对
12、应的二次函数图象，我们还可以讨论方程实数根的大小、分布范围，有利于完善学生的认知结构。由图象和韦达定理不难得到：（1）方程两根都是正数（图3-1），xoy图3-2则b2-4ac0,且0，0；（2）方程两根都是负数（图3-2），则b2-4ac0,且0，0；（3）方程有一个正根、一个负根（图3-3），yxo图3-3则0。注：上述逆命题同样成立。另注意到0与ab0是等价的，所以能培养学生的等价代换思维。例18已知关于x的方程x2-ax+a+3=0，分别下列情况，确定字母a的取值范围：河道AB图4-2（1）方程两根都是正数；（2）方程两根都是负数；（3）方程有一个正根、一个负根.第四部分 图形的变换4
13、1图形的基本变换及其组合学生已经熟悉了图形的平移、对折（即轴对称变换）和和旋转（包含中心对称变换），有必要将变换的范围从平面拓展到空间；图形变换的组合反映出各种不同变换之间的联系与变化规律在空间一个图形几次平移的合成，相当于一次平移；同样在平面内一个图形绕同一点几次旋转的结果，仍相当于一次旋转。ABCD图4-1例19如图4-1，小王将一文件柜由A处推行至B处，再由小张将此文件柜沿原直线途径推行至电梯C中，电梯上升至三楼D处，假设文件柜在运动中未发生转动或倒置,则这个过程中,文件柜经过了三次平移:第一次平移从A到B;第二次平移从B到C;第三次平移从C到D.由此可以看作是,假如存在一条从A到D的斜
14、坡,那么相当于直接从A平移到D.例20如图4-2，居民区A与学校B之间有一条两岸平行的河流，现准备修建一座桥梁（桥梁走向垂直于河岸），并在两侧山坡上修建直接的通道，分别就以下要求在图上标出桥址：（1） 使居民区到学校的距离最短；（2）使居民区和学校到桥的距离相等.42图形运动的集合一般地把符合某个条件的所有点的集合看成符合这个条件的点的轨迹。(1)圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹；(2)到已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；OO1AB图4-3(3)到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。例21求经过两个已知点A、B的圆的圆心轨迹(如图4-3).43图形的
15、投影与截面从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的“正投影”简称为投影。ACBABCL图4-4线段长的投影满足：AB=ABcos(是线段或其延长线与直线的夹角)例22如图4-4，C是线段AB的中点，A、B、C三点在直线L上的投影分别是A、B、C，证明：C是AB的中点.依此类推可得出面积在投影中的关系：S=Scos。例23下列图形(图4-5)能否是圆柱在平面内的投影，如果是，想象一下是在圆柱什么位置下的投影.图4-5(1)(2)(3)(4)44图形变换与坐标将平面图形放在直角坐标系中进行研究，根据点的坐标确定它在平面内的位置，进而确定整个图形的位置。例24图4-6，线段AB依次经历了下列运动：yx
