高中数学练习题6

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1、授课时间： 2006年9月11日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年10月11日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月9日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年9月11日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年9月12日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第1章 极限与连续第1节 初等函数教学目的：1、复习基本初等函数的定义、图像、性态，为研究微积分做好准备2、理解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的分解3、理解初等函数的概念及与分段函数的关系4、了解从实际问题中的建立函数关系教学重点：基本初等函数、复

2、合函数的概念、复合函数的分解教学难点：反三角函数、复合函数的分解教学方法：讲授，启发式、讲练结合教学手段：传统式作业：P18 3、5、12、16、18教案实施效果追记：1、文科同学对反三角函数不熟悉，重点复习2、复合函数的分解强调是复合过程的分解，注意其结果形式第1章 极限与连续第1节 初等函数讲授新内容一、基本初等函数定义 设D是一个实数集，若对属于D的每一个数，按照某个对应关系，都有唯一确定的值和它对应，则叫做定义在数集D上的的函数，记作 。叫做自变量，数集D叫做函数的定义域。当取遍D中一切数值时，与它对应的函数值的集合M叫做函数的值域。但在同一个问题中，如需要讨论几个不同的函数，为区别起

3、见，可用不同的函数记号来表示。例如，以为自变量的函数也可表示为F（）， （），y（），S（）等。函数当时，对应的函数值，可记作或。在研究函数时，必须注意函数的定义域。在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来确定定义域。对于用数学式子表示的函数，它的定义域可由函数表达式本身来确定，即要使运算有意义。例如（1）在分式中，分母不能为零；（2）在根式中，负数不能开偶次方；（3）在对数式中，真数要大于零；（4）在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；（5）若函数表达式中含有分式、根式、对数式或反三角函数式，则应取各部分定义域的交集。例1求下列函数的定义域。 （1） （2） （3） 解（略）注意：两个

4、函数只有当它们的定义域和对应规律完全相同时，这两个函数才认为是相等的。 例如函数与y=1，它们的定义域和对应规律都相同，所以它们是相等的函数。又如函数 与，它们的定义域不同，所以它们是不同的函数。 例2 设，求，。另外，在函数的定义中，并没有要求自变量变化时函数值一定要变，只要求对于自变量都有唯一确定的y与它对应。故常量也符合函数的定义，因当时，所对应的值都是确定的常数，通常称（为常数）为常函数。函数的表示方法，常用的有解析法、表格法和图像法三种。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这5类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数 它的定义域和值

5、域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数 图1-2它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示（3）对数函数 定义域为，值域为。对数函数是指数函数图1-3的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4图1-5（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图

6、形如图1-5所示。二、复合函数定义 设函数，而是的函数，若的函数值全部或部分在的定义域内，此时也是的函数，我们称此函数为由函数和复合而成的函数，简称复合函数，记为，其中称为中间变量。例3 指出下列各复合函数的复合过程和定义域：（1） ； （2）解 （略）注意1、不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。例如和就不能复合成一个复合函数。因为，对于的定义域为（-，+）中的任何值所对应的值都大于或等于2，它们不能使有意义。2、把一个复合函数分解成若干个较简单的函数,一般应遵循的原则是,使分解后的每一个函数都是基本初等函数或基本初等函数与常数的四则运算的形式。3、复合函数的中间变量有时不止一个。请看下

7、例例4 指出下列各复合函数的复合过程，并求定义域(1) ; (2) (3) (4) 三、初等函数定义 由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的复合所构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。初等函数能用一个式子表示，例如都是初等函数。初等函数是微积分研究的主要对象。分段函数，能化为，而是由和复合而成的，因此它是一个初等函数。而分段函数不能用一个式子表示，因此它不是初等函数。求分段函数的函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表示式进行计算。例5 设函数 ，求复合函数。解 这是一个分段函数复合问题，先画出中间变量的图像由于可知，有，当时，有，当时，有。综上所述，所求复合函数也是一

8、个分段函数，即四、建立函数关系举例例6 将直径为的圆木料锯成截面为矩形的木材（图1-13），列出矩形截面与它的两条边长之间的函数关系。解 （略）例7 弹簧受力伸长。由实验得知，在弹性限度内，伸长量和受力大小成正比。现在已知一弹性限度为牛顿的弹簧，受力9.8牛顿时，伸长0.02米，求弹簧的伸长量和受力之间的函数关系。解 （略）例8 已知一个单三角形脉冲电压，其波形如图1-15所示，求电压与时间t的函数关系式。 解（略）小结（时间：2分钟）：1、基本初等函数是构成初等函数的要素，应熟记其图像、性质、特点。2、复合关系不同于四则运算关系，应掌握分解其复合过程。3、初等函数、分段函数是微积分的研究对象

9、， 两者之间有交集。授课时间： 2006年9月14日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2006年10月13日 使用班级： 造价06-1(3) 授课时间： 2006年10月11日 使用班级： 造价06-2(3) 授课时间： 2006年9月15日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2006年9月15日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第1章 极限与连续第2节 数列极限的定义与性质 第3节 函数的极限教学目的：1、理解数列极限的两个定义，会利用数列的极限描述性定义求极限。2、记忆并应用无穷递缩等比数列的求和公式。3、理解当时函数极限的两个定义及其关系，并会根据

10、图像求简单函数的极限。4、理解当时函数极限的两个定义及其关系，并会利用其关系讨论分段函数在分界点处的极限的存在性。教学重点：数列极限概念、当时函数极限概念教学难点：极限概念的定义教学方法：讲授，启发式、数形结合教学手段：传统式作业：P22 1、2、3、4教案实施效果追记：通过各种类型数列举例和其在直角坐标中的图像演示，大多数同学能够理解定义。第1章 极限与连续第2节 数列极限的定义与性质 第3节 函数的极限一、数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作

11、内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限

12、。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。数列又称整标函数，即以正整数集或以其子集为定义域的函数。现在我们考察当自变量无限增大时，数列的变化趋势。先看下面几个数列：（1） （2） （3）（4） （5） （4）为了清楚起见，我们把这两个数列的前几项分别在直角坐标上表示出来。（图略）由图看出，当越来越大时，数列（1）（2）（3）（4）中的值以各种方式越来越接近于某一常数；数列（5）的数值在1和-1之间来回跳动，（6）的数值无限增大。定义 若当无限增大时，数列无限接近于一个确定

13、的常数A，则称A为数列的极限，记为 或（当 时）。 由定义及（1）、（2）可知，当时，数列的极限为零；数列，的极限为1，它们可分别记为与。若A为数列的极限，便说数列收敛于A。一个数列若有极限，便说它是收敛的，否则称它为发散的。例1 考察数列的变化趋势，写出它们的极限。（1）； （2）； （3）解 （1） 当n=1，2，3，4，5时，数列的各项依次为由此可知，当n无限增大时，无限接近于，所以由定义得。 （2）由于，即不论项数n为何值，数列恒等于2，所以当时，2与完全相同，因此。（3）由于，显然，。可以看出，当时，的值可以达到任意小，与0无限接近。因此。为了更精确的描述数列的极限，我们给出数列极限

14、的“”定义。引例 已知数列问当取何值时有： 定义 若对于任意给定的正数，不管它多么小，总存在一个正整数，使得当时，不等式恒成立，则称常数为数列的极限，记作 或 等比数列当时,该等比数列称为无穷递缩等比数列。它的前项和现在求时,的极限。 也就是说无穷递缩等比数列（公比）的求和公式：。例11 求等比数列前项和，并求当时，的极限值。解 因为公比，所以。例12 将循环小数化成分数. 第三节 函数的极限1、当时函数的极限表示自变量的绝对值无限增大。为了区别起见，把且无限增大，记为；且无限增大，记为。考察当时，函数的变化趋势。由图可以看出，当的绝对值无限增大时，的值无限趋于零，即当时，。 对于这种当时，函数的变化趋势，给出下面的定义： 定义：设函数在上有定义，若当的绝对值无限增大（即）时，函数无限接近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为或（当时）定义： 设函数在（或）上有定义，若当（或）时，函数无限接近于一个确定的常数，则就称为函数当（或）时的极限，记为 或（当时）举几个例子：1、由图观察得和由于，当和时，函数不是无限接近于同一个确定