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1、第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法,1了解数学归纳法的原理及其使用范围 2会用数学归纳法证明一些简单问题 3掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论,1数学归纳法是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在_时成立,这是递推的基础;第二步是假设在_时命题成立,再证明_时命题也成立,这是递推的依据实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限证明时,关键是k1步的推证,要有目标意识 2从试验、观察出发,用不完全归纳法作出_,再用数学归纳法进行_,这是探索性问题的证法,数列中经常用到(试值猜想证明),nn0(n0N*),nk(kn0,kN*),nk1,归纳猜想,严格证明,题型一 证明
2、恒等问题,变 式训 练,所以当nk1时,等式仍然成立 由(1)、(2)可知,对于nN*,等式恒成立 点评:用数学归纳法证明恒等式应注意:明确初始值n0的取值并验证nn0时命题的真假(必不可少)明确从“假设nk时命题正确”到写出“nk1时”命题形式是什么,并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项,明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之:两个步骤、一个结论;递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.,题型二 证明整除问题,例2 求证:an1(a1)2n1能被a2a1整除,nN*.,由归纳假设,上式中的两项均能被a2a1整除,故nk1
3、时命题成立 由(1)(2)知,对nN*,命题成立 点评:证明整除性问题的关键是“凑项”,而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出nk时的情形,从而利用归纳假设使问题获证,栏目链接,变 式训 练,2用数学归纳法证明(3n1)7n1能被9整除(nN*),分析:证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a或一个代数式g(n)整除,主要是找到f(k1)与f(k)的关系,设法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k1)f(k)f1(k)af2(k),就可证得命题成立 证明:(1)当n1时,原式(311)7127,能被9整除,命题成立 (2)假设当nk(k1)时,,栏目链接,变 式训 练,(3k1)7
4、k1能被9整除,则当nk1时, 3(k1)17k1121(k1)77k1 (3k1)(18k27)7k1 (3k1)7k19(2k3)7k, (3k1)7k1和9(2k3)7k都能被9整除, (3k1)7k19(2k3)7k能被9整除, 即3(k1)17k11能被9整除,,即当nk1时命题成立 由(1)(2)可知,对任何nN*命题都成立 分析:本题如果将nk1时,3(k1)17k11变为7(3k1)7k137k16,再去证明37k16能被9整除,困难就大一些,即为了能利用归纳假设,拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式,需要观察式子的特点,不能盲目变形,要有目标,题型一 证明几何或数列问题,例3
5、 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)n2n2(nN*)个部分,分析:因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,因此增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n1)f(n)2n.,有了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 证明:(1)当n1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)1122,所以n1时命题成立 (2)假设nk(k1)时命题成立,即k个圆抒平面分成f(k)k2k2个部分 则nk1时,在k1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,,每段弧将原平面一分为二,故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2. 当nk1时命题成立 综上(1)(2)可知,对一切nN*命题成立,变 式训 练,