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1、正弦函数的图像与性质教案2一、教学目标知识与技能1.理解并掌握作正弦函数图象的方法。2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。3.理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义。4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间。5.理解振幅、周期、频率、初相的定义。6.理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律。7.会用“五点法”画出y=Asin(x+)的简图，明确A、和对函数图象的影响作用。过程与方法理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。情感态度与价值观1.培养学生数形结合的能力。3.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。二、教学重、难点教学重点：用单位
2、圆中的正弦线作正弦函数的图象教学难点：理解弧度值到轴上点的对应。开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程。在小学度量角度使用的进制，弧度用弧长（十进制）度量，再转化为轴上的有向长度。实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。三、过程与方法引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解
3、四、课时3课时五、教学过程第1课时教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 复习：正弦线2. 引入教师提出问题：用什么方法作出正弦函数的图象呢：学生回答：描点法。教师点评：但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确为引入几何作图法作好准备。概念形成 正弦函数的图象用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线在
4、直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份（等份越多，作出的图象越精确），过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，,，2的角的。正弦线（这等价于描点法中的列表）第二步：描点我们把x轴上从0到2这一段（）分成12等份，每个分点分别对应于分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，（把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点）第三步：连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象以上我们作出了y=sinx，x0，2的图象，因为所以正弦函数在时的图象与的
5、形状完全一样，只是位置不同。现在把上述图象沿着x轴平移，就得到y=sinx，xR，的图象。叫做正弦曲线正弦函数y=sinx，xR，的图象。叫做正弦曲线 2）用五点法作正弦函数的简图（描点法）：只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图，要求熟练掌握在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”，这种作图法叫做五点法。学生作图，该过程中教师适时指点学生，并加强学生与学生之间的讨论与交流。教师通过多媒体将此过程展示给学生。教师提问：怎样作出y=sinx，
6、的图象？学生回答：因为。所以正弦函数在时的图象与的形状完全一样，只是位置不同。教师鼓励和肯定好的想法。教师提问：正弦函数y=sinx， x0，2的图象中，确定图象形状时哪些点起关键作用？学生回答：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)教师引导学生观察图象并总结出正弦函数在这五个点附近的函数变化情况。学生通过教师讲解、讨论将弧度值转到轴上点，再通过平移正弦线得到图象上的点。教师可以通过一些特殊角的正弦值的重复规律，使学生悟出正弦函数当时的图象与x0，2的图象间的关系。正弦函数有无数个点，在x0，2上，引导学生抓住最关键的五个点。应用举例例1 用五点法作下列函数的简图(1)y=
7、sinx，x0，2， (2)y=1+sinx，x0，2， 例2利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：1. 学生独立完成，并请两位同学板演。由学生和教师共同点评。对于表格规范，图象正确的学生给予鼓励和表扬，对于有不足的学生给予指导。2. 由学生独立完成，并由学生讲解，教师指导。1.复习五点作图法，并为今后图象平移打下基础。2.巩固作图法，并培养逆向思维能力。归纳小结小结：学习了几何法和五点法作正弦函数图象的方法。教师归纳本节课内容学生回顾本节课内容。教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线教师提问，学生回答。为本节课的讲解新课作准备。概念形成 由正弦函数
8、的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数 还有以下重要性质： (1)定义域：正弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作：ysinx，xR(2)值域因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线和之间，所以sinx1，即1sinx1也就是说，正弦函数的值域都是1，1正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k，kZ时，正弦函数取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，正弦函数取得最小值1 (3)周期性由sin(x2k)sinx (kZ)知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的当自变量的值每增加或减少的整数倍时，正弦函数的值重复出现。在单位圆中，当角
9、的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是正弦函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界；2“每一个值”只要有一
10、个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）3T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,2p,4p,都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2 (4)奇偶性由sin(x)sinx可知：ysinx为奇函数因此正弦曲线关于原点O对称(5)单调性从ysinx， x的图象上可看出：当x，时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1当x，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其
11、值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1 教师提问：定义域、值域分别是什么？并说明理由。学生回答：从函数图象和正弦函数定义以及正弦线的知识，可以知道定义域为xR，值域1，1。教师提问：任意一个周期函数是否都有最小正周期？学生回答：否。反例：教师提问：函数奇偶性的定义及图象特征？学生回答。教师提问：正弦函数具有什么样的性质？学生回答。教师提问：从正弦函数的图象观察正弦函数具有什么样的单调性？学生回答。1.希望学生不仅能够知道正弦函数的定义域和值域，而且能够体会知识间的联系，知其然更知其所以然。2.通过讨论和提问使学生更深刻理解周期的定义。应用举例例1：设，求
12、的取值范围。解：因为 所以 由此解得例2： 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么 1ysin2x，xR 2 y=sin(3x+)1解：1令Z2x，那么xR必须并且只需ZR，且使函数ysinZ，ZR取得最大值的集合是ZZ2k，kZ由2xZ2k，得xk即 使函数ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ函数ysin2x，xR的最大值是12 当3x+=2kp+即 x= (kZ)时y的最大值为0例3：求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=3sin(+) 3 y=|sinx|解：1 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f
13、(z)f (x+2p)+ =f (x+) 周期T=2p 2令z=+ 则f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) 周期T=4p 3 T=p 一般地，函数yAsin(x)（其中）的周期，下一节将进一步研究这类函数的性质。例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0 (1)sin()sin()；(2)()()解：(1)且函数ysinx，x，是增函数sin()sin()即sin()sin()0(2)sin()sinsin=sin=sinsin()sinsin0且函数ysinx，x0，上是增函数sinsin sin sinsin()sin()0例5函数y=ksinx+b
