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1、第二部分 空间与图形,第18、19讲 锐角三角函数及其应用 五华县伏溪中学 谢金华老师,知识要点梳理,1. 锐角三角函数的定义：如图2-6-31-1，在RtABC中， C90，则有 （1）正弦：sinA_. （2）余弦：cosA_. （3）正切：tanA_.,2. 特殊角的三角函数值：,3. 解直角三角形的关系公式（如图2-6-31-2）： （1）三边关系：_. （2）角关系：A+B=_. （3）边角关系： sinA=_，sinB=_， cosA=_, cosB=_，tanA=_， tanB=_.,a2+b2=c2,90,4. 解直角三角形的应用的有关概念: （1）如图2-6-31-3,仰角是
2、_，俯角是_. （2）如图2-6-31-4,方向角： OA：_，OB：_， OC：_，OD：_.,BOA,AOC,北偏东60,东南方向,正东,南偏西20,（3）如图2-6-31-5,AB的坡度iAB=_，叫 _，tan=iAB=_.,坡角,重要方法与思路 解直角三角形的应用问题的有关要点: （1）应用范围： 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题， 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度. （2）一般步骤： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角
3、形的问题）; 根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.,中考考点精练,考点1 锐角三角函数、解直角三角形,1. （2016沈阳）如图2-6-31-6，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，则BC的长是 （ ）,D,2. （2014汕尾）在RtABC中，C=90，若sinA= ，则cosB的值是 （ ） 3. （2014广州）如图2-6-31-7，在边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶 点均在格点上，则tanA等于 （ ）,B,D,4. （2015广州）如图2-6-31-8，ABC中，DE是BC的垂直平
4、分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE=9，BC=12，则cosC=_.,解题指导： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解此类题的关键在于画出直角三角形的图形，利用锐角三角函数的定义进行计算，要熟练掌握锐角三角函数包括正弦、余弦、正切等概念的定义和计算公式（注意：相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握）.,考点2 解直角三角形的应用,1.（2014广东）如图2-6-31-9，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30，然后沿AD方向前行10 m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60（A，B，D三点在同一直 线上）.请你根据他们的测量
5、数据计算这棵树CD的高度 （结果精确到0.1 m）. （参考数据： 1.414， 1.732）,解：CBD=A+ACB， ACB=CBD-A=60-30=30. A=ACB. BC=AB=10（m）. 在RtBCD中， 答：这棵树CD的高度为8.7米.,2. （2014珠海）如图2-6-31-10，一艘渔船位于小岛M的北偏东45方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60方向的B处. （1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； （2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果
6、精确到0.1 小时）.（参考数据： ）,解：（1）如答图2-6-31-1， 过点M作MDAB于点D. AME=45，AMD=MAD=45. AM=180海里， MD=AMcos45= （海里）. 答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M间 的最小距离是 海里. （2）在RtDMB中， BMF=60，DMB=30. MD= 海里， 答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.,解题指导： 本考点的题型一般为解答题，难度中等. 解此类题的关键在于借助实际问题中的俯角、仰角或方向角等构造直角三角形并解直角三角形. 熟记以下解直角三角形的应用问题的一般过程： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图
7、形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）； （2）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.,考点巩固训练,考点1 锐角三角函数、解直角三角形,1. 在RtABC中，C=90，AB=13，AC=12，则cosA=（ ） 2. 如图2-6-31-11，在网格中，小正方形的边 长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC 的正切值是 （ ）,C,D,3. 如图2-6-31-13，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则sin的值是 （ ）,B,4. 在RtABC中，C=90，如果AC=4，sinB= ，那么AB=_. 5.
8、如图2-6-31-13，ABC中，ACB=90，sinA= ，BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E. （1）求线段CD的长； （2）求cosDBE的值.,6,考点2 解直角三角形的应用,6. 如图2-6-31-14，小山岗的斜坡AC的坡度是tan= ，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角为26.6，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：sin26.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）,解：在直角三角形ABC中， 在直角三角形ADB中， BD-BC=CD=200, 解得AB=300（m）. 答：小山岗的高AB为300米.,7.
9、 如图2-6-31-15，甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的方向，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变，求港口A与小岛C之间的距离.,解：如答图2-6-31-2. 由题意，得1=60，2=30， 4=45，AB=30海里. 过点B作BDAC于点D， 则1=3=60. 在RtBCD中，4=45，CD=BD. 在RtABD中，2=30，AB=30海里，,8. 某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾
10、区参与抢险工作，如图2-6-31-16，某探测对在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25和60，且AB=4 m，求该生命迹象所在位置C的深度. （结果精确到1 m，参考数据：sin250.4，cos25 0.9，tan250.5， 1.7）,解：如答图2-6-31-3，作CDAB交AB的延长线于点D. 设CD为x m. 在RtADC中，DAC=25， 在RtBDC中，DBC=60，而AB=4 m, 解得x3（m）. 答：生命迹象所在位置C的深度约为3 m.,小结与作业,小结：1、直角三角形知一边一角如何求其 他未知条件。 2、如何解直角三角形 作业 ：中考一号P65 第7、8、9题 P70 第9题,祝同学们学习进步! 再见,
