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1、直角三角形的存在探究针对演练1. 如图，抛物线yax2bxc的图象过点M(2，)，顶点为N(1，)，与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线解析式；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)若点Q是抛物线对称轴上一点，当QBC是直角三角形时，求点Q的坐标第1题图2. (2016陕西10分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点抛物线yax2bx5经过点M(1，3)和N(3，5)(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说
2、明理由第2题图3. (2016恩施节选)如图，在矩形OABC纸片中，OA7，OC5，D为BC边上动点，将OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：yx7上时，记为点E、F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G.(1)求点E、F的坐标；(2)求经过E、F、G三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中的对称轴上是否存在点P，使以E、F、P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB90，ACBC，OA1，OC4，抛物线yx2bxc经过A，B两点，抛物线的顶点为D.(1)求系数b，c的值；(2)点E是RtA
3、BC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由 第4题图 备用图答案1. 解：(1)已知抛物线顶点N(1，)，故可设抛物线解析式为ya(x1)2，将M(2，)代入得 a(21)2，解得a，抛物线的解析式为y(x1)2.即y x2 x；(2)对于抛物线yx2x，令y0，得 x2 x0，解得x11，x23，点A(1，0)，点B(3，0)，令x0，得y，点C的坐标为(0，)AB24216，AC212()24
4、，BC232()212，AB2AC2BC2，ABC是直角三角形，并且BCA90；(3)由抛物线顶点N(1，)知抛物线的对称轴为x1，设点Q的坐标为(1，t)，则BQ2(31)2(0t)24t2，CQ2(1)2(t)2t22 t4，BC212.要使BQC是直角三角形，分三种情况：()当BQC90，则BQ2QC2BC2，即4t2t22 t412，解得t1，t2，此时点Q的坐标为(1，)或(1，)；()当QBC90，则BQ2BC2QC2，即4t212t22 t4，解得t2，此时点Q的坐标为(1，2)；()当BCQ90时，则QC2BC2BQ2，即t22t4124t2，解得t2，此时点Q的坐标为(1，2
5、) 综上，当QBC是直角三角形时，点Q坐标分别为(1，)，(1，)，(1，2)，(1，2)2. 解：(1)将M(1，3)，N(3，5)点坐标代入抛物线解析式yax2bx5，得，解得，抛物线的解析式为yx23x5. (2分)对于方程x23x50，(3)2415920110，抛物线与x轴无交点；(3分)第2题解图(2)AOB是等腰直角三角形，点A坐标为(2，0)，点B在y轴上，点B的坐标为B1(0，2)或B2(0，2)(5分)设平移后的抛物线的表达式为yx2mxn .当抛物线经过点A(2，0)，B1(0，2)时，代入可得，解得，平移后的抛物线yx23x2. (7分)该抛物线顶点坐标为(，)而原抛物
6、线顶点坐标为(，)，将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件 的抛物线；(8分)当抛物线过点A(2，0)，B2(0，2)时，解得，平移后的抛物线为yx2x2. (9分)该抛物线顶点坐标为(，)而原抛物线顶点坐标为(，)， 将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的 抛物线(10分) 3. 解：(1)设点C的对应点的坐标为(x，x7)，由折叠性质可知OEOC5，x2(x7)252，解得x13，x24，当x3时，x74；当x4时，x73.点E、F的坐标分别为(3，4)，(4，3)；(2)当点C的对应点落在OA上时，则OGOC5，点G的坐标为(5，0)
7、，设过点E、F、G的抛物线解析式为yax2bxc，将点E、F、G的坐标分别代入得，解得，经过E、F、G三点的抛物线解析式为yx26x5；(3)存在，理由如下：抛物线的解析式为yx26x5抛物线的对称轴为x3设P(3，m)，则有PE2(4m)2(33)2m28m16，PF2(3m)2(43)2m26m10，EF2(43)2(43)22，分三种情况讨论，当PEF90时，PE2EF2PF2，m28m162m26m10，解得m4，与点E重合，舍去；当EPF90时，PE2PF2EF2，m28m16m26m102解得m13，m24(舍去)则点P1(3，3)；当EFP90时，EF2PF2PE2，2m26m1
8、0m28m16，解得m2，则点P2(3，2)，综上所述，存在点P使以E、F、P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标分别为P1(3，3)，P2(3，2)4. 解：(1)由OA1，得到A(1，0)，由BCACOAOC145，得到B(4，5)，将A与B坐标代入抛物线yx2bxc得，解得b2，c3；(2)设直线AB：ypxq，经过点A(1，0)，B(4，5)，第4题解图，解得，直线AB的解析式为：yx1，二次函数yx22x3，设点E(t，t1)，则F(t，t22t3)，EF(t1)(t22t3) (t)2，当t时，EF的最大值为，此时点E的坐标为(，)；(3)存在，分两种情况考虑：()过点E作直线aEF交抛物线于点P，设点P(m，m22m3)，则有：m22m3，解得：m1，m2，P1(，)，P2(，)；()过点F作直线bEF交抛物线于P3，设P3(n，n22n3)，则有：n22n3，解得：n1，n2(与点F重合，舍去)，P3(，)，综上所述：所有点P的坐标：P1(，)，P2(，)，P3(，)，能使EFP是以EF为直角边的直角三角形
