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1、直角三角形的存在探究针对演练1. 如图,抛物线yax2bxc的图象过点M(2,),顶点为N(1,),与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.(1)求抛物线解析式;(2)判断ABC的形状,并说明理由;(3)若点Q是抛物线对称轴上一点,当QBC是直角三角形时,求点Q的坐标第1题图2. (2016陕西10分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点抛物线yax2bx5经过点M(1,3)和N(3,5)(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说
2、明理由第2题图3. (2016恩施节选)如图,在矩形OABC纸片中,OA7,OC5,D为BC边上动点,将OCD沿OD折叠,当点C的对应点落在直线l:yx7上时,记为点E、F,当点C的对应点落在边OA上时,记为点G.(1)求点E、F的坐标;(2)求经过E、F、G三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中的对称轴上是否存在点P,使以E、F、P为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由第3题图4. 如图,在平面直角坐标系中,ABC是直角三角形,ACB90,ACBC,OA1,OC4,抛物线yx2bxc经过A,B两点,抛物线的顶点为D.(1)求系数b,c的值;(2)点E是RtA
3、BC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由 第4题图 备用图答案1. 解:(1)已知抛物线顶点N(1,),故可设抛物线解析式为ya(x1)2,将M(2,)代入得 a(21)2,解得a,抛物线的解析式为y(x1)2.即y x2 x;(2)对于抛物线yx2x,令y0,得 x2 x0,解得x11,x23,点A(1,0),点B(3,0),令x0,得y,点C的坐标为(0,)AB24216,AC212()24
4、,BC232()212,AB2AC2BC2,ABC是直角三角形,并且BCA90;(3)由抛物线顶点N(1,)知抛物线的对称轴为x1,设点Q的坐标为(1,t),则BQ2(31)2(0t)24t2,CQ2(1)2(t)2t22 t4,BC212.要使BQC是直角三角形,分三种情况:()当BQC90,则BQ2QC2BC2,即4t2t22 t412,解得t1,t2,此时点Q的坐标为(1,)或(1,);()当QBC90,则BQ2BC2QC2,即4t212t22 t4,解得t2,此时点Q的坐标为(1,2);()当BCQ90时,则QC2BC2BQ2,即t22t4124t2,解得t2,此时点Q的坐标为(1,2
5、) 综上,当QBC是直角三角形时,点Q坐标分别为(1,),(1,),(1,2),(1,2)2. 解:(1)将M(1,3),N(3,5)点坐标代入抛物线解析式yax2bx5,得,解得,抛物线的解析式为yx23x5. (2分)对于方程x23x50,(3)2415920110,抛物线与x轴无交点;(3分)第2题解图(2)AOB是等腰直角三角形,点A坐标为(2,0),点B在y轴上,点B的坐标为B1(0,2)或B2(0,2)(5分)设平移后的抛物线的表达式为yx2mxn .当抛物线经过点A(2,0),B1(0,2)时,代入可得,解得,平移后的抛物线yx23x2. (7分)该抛物线顶点坐标为(,)而原抛物
6、线顶点坐标为(,),将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件 的抛物线;(8分)当抛物线过点A(2,0),B2(0,2)时,解得,平移后的抛物线为yx2x2. (9分)该抛物线顶点坐标为(,)而原抛物线顶点坐标为(,), 将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的 抛物线(10分) 3. 解:(1)设点C的对应点的坐标为(x,x7),由折叠性质可知OEOC5,x2(x7)252,解得x13,x24,当x3时,x74;当x4时,x73.点E、F的坐标分别为(3,4),(4,3);(2)当点C的对应点落在OA上时,则OGOC5,点G的坐标为(5,0)
7、,设过点E、F、G的抛物线解析式为yax2bxc,将点E、F、G的坐标分别代入得,解得,经过E、F、G三点的抛物线解析式为yx26x5;(3)存在,理由如下:抛物线的解析式为yx26x5抛物线的对称轴为x3设P(3,m),则有PE2(4m)2(33)2m28m16,PF2(3m)2(43)2m26m10,EF2(43)2(43)22,分三种情况讨论,当PEF90时,PE2EF2PF2,m28m162m26m10,解得m4,与点E重合,舍去;当EPF90时,PE2PF2EF2,m28m16m26m102解得m13,m24(舍去)则点P1(3,3);当EFP90时,EF2PF2PE2,2m26m1
8、0m28m16,解得m2,则点P2(3,2),综上所述,存在点P使以E、F、P为顶点的三角形为直角三角形,点P的坐标分别为P1(3,3),P2(3,2)4. 解:(1)由OA1,得到A(1,0),由BCACOAOC145,得到B(4,5),将A与B坐标代入抛物线yx2bxc得,解得b2,c3;(2)设直线AB:ypxq,经过点A(1,0),B(4,5),第4题解图,解得,直线AB的解析式为:yx1,二次函数yx22x3,设点E(t,t1),则F(t,t22t3),EF(t1)(t22t3) (t)2,当t时,EF的最大值为,此时点E的坐标为(,);(3)存在,分两种情况考虑:()过点E作直线aEF交抛物线于点P,设点P(m,m22m3),则有:m22m3,解得:m1,m2,P1(,),P2(,);()过点F作直线bEF交抛物线于P3,设P3(n,n22n3),则有:n22n3,解得:n1,n2(与点F重合,舍去),P3(,),综上所述:所有点P的坐标:P1(,),P2(,),P3(,),能使EFP是以EF为直角边的直角三角形