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1、第三章 圆圆心角和圆周角的关系(第2课时) 李长业教学目标:1掌握圆周角定理的2个推论的内容.2会熟练运用推论解决问题.3培养学生观察、分析及理解问题的能力.4在学生自主探索推论的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确学习方式.教学重点:圆周角定理的几个推论的应用.教学难点:理解几个推论的“题设”和“结论”一 教学过程第一环节 课前复习活动内容:1.求图中角X的度数: x= x= 2.求图中角X的度数:ABF=20,FDE=30 x= x= 活动目的:通过两个简单的练习,复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系.练习1是复习定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半;练习2是复习
2、定理:同弧或等弧所对的圆周角相等.活动的注意事项:两个题目相对比较简单,关键在于引导学生学会看图,从图中看出圆心角和圆周角的一些关系.第2题的第2个图难度稍大,学生不易一眼看出个中关系,需要借助辅助线,连接CF,把x分解为2个角,使得问题简单解决,本题需要重点讲解,体现读图和应用的灵活性.第二环节 新课学习(一)活动内容:(1)观察图,BC是O的直径,它所对的圆周角有什么特点?你能证明吗?首先,让学生明确,“它所对的圆周角”指的是哪个角?(BAC)然后,让学生猜想,这个角的特点,并拿量角器实际测量,看看猜测是否准确.(BAC是一个直角)最后,让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角
3、关系定理进行证明.解:直径BC所对的圆周角BAC=90证明:BC为直径BOC=180(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半)(2)观察图,圆周角BAC=90,弦BC是直径吗?为什么?首先,让学生猜想结果;然后,再让学生尝试进行证明.解:弦BC是直径.连接OC、OBBAC=90BOC=2BAC=180(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半)B、O、C三点在同一直线上BC是O的一条直径(3)从上面的两个议一议,得出推论:直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.几何表达为:直径所对的圆周角是直角;BC为直径 BAC=9090的圆周角所对的弦是直径.BAC=90 BC为
4、直径活动目的:本环节的设置,需要学生经历猜想实验验证严密证明,这三个基本的环节,从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论.活动的注意事项:在(2)证明弦BC是直径的问题中,学生往往容易进入误区,直接连接BC,认为BC过点O,则直接说BC是直径,这样的说理是错误的,应该是连接OB和OC,再证明三点共线.在此需要特别指出注意:此处不能直接连接BC,思路是先保证过点O,再证三点共线.对于三点共线,学生也可能忘记,需要老师从旁提醒.第三环节 推论的应用(一)活动内容: (1)小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形,你能判断哪个是半圆形?为什么?(2)如图,O的直径A
5、B=10cm,C为O上的一点,B=30,求AC的长.解AB为直径BCA=90在RtABC中,ABC=30,AB=10活动目的:在学习了推论“直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用,目的的增加学生对这两个推论的熟练程度,并学习灵活应用这两个推论解决问题.第1题是实际问题,具有现实生活的实际意义,用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力.活动的注意事项:第2题练习中,涉及“在直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半”这个定理的使用,估计学生不容易想到应用这个定理,从而无法解决这个问题,让学生思考后,发现无法联系到本定理,则需要老师从旁适时提醒
6、.第四环节 新课学习(二)活动内容: (一)如图,A,B,C,D是O上的四点,AC为O的直径,请问BAD与BCD之间有什么关系?为什么?首先:引导学生进行猜想;然后:让学生进行证明.解:BAD与BCD互补AC为直径ABC=90,ABC=90ABC+BCD+ABC+BAD=360BAD+BCD=180BAD与BCD互补(二)如图,C点的位置发生了变化,BAD与BCD之间有的关系还成立吗?为什么?12首先:让学生猜想结论;然后:让学生拿出量角器进行度量,实验验证猜想结果;最后:让学生利用所学知识进行严密证明.解:BAD与BCD的关系仍然成立连接OB,OD,(圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半)
7、1+2=360BAD+BCD=180BAD与BCD互补(三)圆内接四边形概念与性质探索如图,两个四边形ABCD有什么共同的特点?得出定义:四边形ABCD的的四个顶点都在O上,这样的四边形叫做圆内接四边形;这个圆叫做四边形的外接圆.通过议一议环节,我们我们发现BAD与BCD之间有什么关系?推论:圆内接四边形的对角互补.几何语言:四边形ABCD为圆内接四边形BAD+BCD=180(圆内接四边形的对角互补)活动目的:本活动环节,目的是通过对特殊图形的研究,探索出一个特殊的关系,然后进行一般图形的变换,让学生再次经历猜想,实验,证明这三个探索问题的基本环节,得到一般的规律.规律探索后,再引入相关概念,
8、得出相关推论.活动的注意事项:在(二)的探索中,学生会陷入BAD和BCD所对圆心角混淆的误区,以及不会对这两个圆心角的角度进行表达.其次,在两个图形中四边形ABCD的共同特征探索方面,学生可能会简单问题复杂化,想到其他比较复习的特征,该给予肯定,但要引导学生不要把问题向复杂方向思考.第五环节 推论的应用(二)活动内容: 如图,DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,A与DCE的大小有什么关系?让学生自主经历猜想,实验验证,严密证明三个环节解:A=CDE四边形ABCD是圆内接四边形A+BCD=180(圆内角四边形的对角互补)BCD+DCE=180A=DCE活动目的:通过一个练习,让学生自主经历解
9、决问题的三个基本环节,从而巩固本节课学习方法的应用.活动的注意事项:个别学习能力低下的学生会不懂得思考问题的方式和方法,让学生做的时候,适当关注这部分学生,作出及时引导.第六环节 方法小结活动内容: 议一议:在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?请举例说明,并与同伴进行交流.让学生自主总结交流,最后老师再作方法归纳总结.方法1:解决问题应该经历“猜想实验验证严密证明”三个基本环节.方法2:从特殊到一般的研究方法,对特殊图形进行研究,从而改变特殊性,得出一般图形,总结一般规律.活动目的:通过小结,让学生回顾本节课的学习内容,尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结,让学生懂得,我们学习不但是学
10、习了知识,更重要的是要学会进行方法的总结.活动的注意事项:这里体现学生的总结和交流能力,只要学生是自己总结的,都应该给与鼓励和肯定,最后老师再作总结性的发言.第七环节 作业布置随堂练习3.在圆内接四边形ABCD中,A与C的度数之比为4:5,求C的度数.解:四边形ABCD是圆内接四边形A+C=180(圆内角四边形的对角互补)A:C=4:5即C的度数为100.习题3.51.如图,在O中,BOD=80,求A和C的度数.解:BOD=80 (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半)四边形ABCD是圆内接四边形DAB+BCD=180BCD=180-40=140(圆内接四边形的对角互补)2.如图,A
11、B是O的直径,C=15,求BAD的度数.(方法一)解:连接BCAB为直径 BCA=90(直径所对的圆周角为直角)BCD+DCA=90,ACD=15BCD=90-15=75BAD=BCD=75(同弧所对的圆周角相等)(方法二)解:连接ODACD=15 AOD=2ACD=30(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半)OA=ODOAD=ODA又AOD+OAD+ODA=180BAD=753.如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E,F,若E=40,F=60,求A的度数.解:四边形ABCD是圆内接四边形ADC+CBA=180(圆内接四边形的对角互补) EDC+ADC=180, EB
12、F+ABE=180 EDC+ EBF=180EDC=F+A,EBF=E+AF+A+E+A=180A=404.如图,O1与O2都经过A,B两点,且点O2在O1上,点C是弧AO2B上的一点(点C不与A,B重合),AC的延长线交O2于点P,连接AB,BC,BP.(1)根据题意将图形补充完整;(2)当点C在弧AO2B上运动时,图中大小不变的角有哪些?(将符合要求的角都写出来)解:大小不变的角有:ACB APBBCP二 教学设计反思1.根据学生特点灵活应用教案本教案的编写,学生的能力是相对较高的,因此课堂的容量会比较大,如果碰到学习能力不足的学生群体,则要根据实际情况进行调整,可以把第三环节的应用减少为一道题目,或者合并到第五环节两个应用一起进行.2.让学生有充分的探索机会,经历猜想,实验证明,严密证明的环节学生往往会直接进行证明,这对于简单问题可行,对于复杂问题就不好做了,因此要让学生经历猜想的过程,并且需要实际动手,拿出量角器进行实际度量,验证猜想,最后再进行严密的几何证明.