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1、江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试数学试题第卷（共 70 分） 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1.设复数 为虚数单位） ，若 ，则 的值是 zabi(,Ri(43zi)ab2.已知集合 ，则 |0,|2UxAxUA3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 首歌曲中的 首，则甲、乙 首歌曲至少有 首被播放421的概率是 4. 如图是一个算法流程图，则输出的 的值是 k5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样50本，其中大一年级抽取 人，大二年级抽取 人.若其他年级共有学生 人，则该201030校学生总人
2、数是 6.设等差数列 的前 项和为 ，若公差 ，则 的值是 nanS52,da10S7.在锐角 中， ，若 的面积为 ，则 的长是 ABC3,4ABC3BC8.在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过抛物线 的焦点，xOy210xya28yx则该双曲线的离心率是 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为 ，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的高为 32310.若直线 为曲线 的一条切线，则实数 的值是 2yxbxyeb11.若正实数 满足 ，则 的最小值是 ,1412.如图，在直角梯形 中， ，若ABCD/,90,3,2ABCBCD分别是线段 和 上的动点，则 的取值范围是 ,EFEF13. 在平面直角坐标系
3、 中，已知点 ，点 为圆 上一动xOy0,2A1,BP2xy点，则 的最大值是 PBA14.已知函数 若函数 恰有 个不同的零点，则3,xaf2gxfax2实数 的取值范围是 a第卷（共 90 分）二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为sin0,3fxAx，且经过点 .3,2（1）求函数 的解析式；fx（2）若角 满足 ，求角 值.31,0,2ff16. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面PABCDABPAD分别为棱 的中点.求证：,ABCDMN,P（1） 平面 ；/MNPAB（2
4、） 平面 .CD17. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左焦点为 ，xOy210xyab1,0F且经过点 .31,2（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦 过点 ，且与 轴不垂直.若 为 轴上的一点， ，求ABFxDxDAB的值.ABDF18. 如图，半圆 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 的长为 百OO1米.为了保护景点，基地管理部门从道路 上选取一点 ，修建参观线路 ,lCCEF且 ,均与半圆相切，四边形 是等腰梯形，设 百米，记修建每,CEDEFDt百米参观线路的费用为 万元，经测算 .1ft15,038,2tftt （1）用 表示线段 的长；tEF（2）求修建参观线路
5、的最低费用.19. 已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列， ，正整数组nadnbq1q.,Emprr（1）若 ，求 的值；1231baq（2）若数组 中的三个数构成公差大于 的等差数列，且 ，求mprmabab的最大值.q（3）若 ，试写出满足条件的一个数组 和1, 02nnmprbabab E对应的通项公式 .(注：本小问不必写出解答过程)n20. 已知函数 ） ，记 的导函数为 .2cos(fxaxRfxgx（1） 证明：当 时， 在 上的单调函数；1g（2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围；fx0a（3）设函数 的定义域为 ，区间 .若 在 上是单调函数，hD,mDhx
6、,m则称 在 上广义单调. 试证明函数 在 上广义单调.x lnyfx0 数学(附加题)21. 【选做题】 本题包括 A、B、C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修 4-1：几何证明选讲如图，已知 为圆 的一条弦，点 为弧 的中点，过点 任作两条弦 分别ABOPABP,CPD交 于点 .,EF求证： .PCDB. 选修 4-2：距阵与变换已知矩阵 ，点 在 对应的变换作用下得到点 ，求矩阵 的1aMb,1M1,5M特征值.C. 选修 4-4：坐标系与参数方程在坐标系中，圆 的圆心在极轴上，且过极
7、点和点 ，求圆 的极坐标方程.C32,4CD. 选修 4-5：选修 4-5：不等式选讲已知 是正实数，且 ，求证： .,abcd1abcd55abcdabd【必做题】第 22、23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是直角梯形，SABCDSABCD.90,2,1ADC（1）求二面角 的余弦值；SBCA（2）设 是棱 上一点， 是 的中点，若 与平面 所成角的正弦值为PESPESAD，求线段 的长.61323. 已知函数 ，设 为 的导数， .00,cxdfacbdnfx1nfnN（1）求 ；12,（2）猜
8、想 的表达式，并证明你的结论.nfx江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、填空题:1 2. 3. 4. 5. 2|02x5637506. 07. 8. 9. 10. 11. 3521812： 4,613. 14.23,2二、解答题: 15. 解：(1)由条件，周期 ，即 ，所以 ，即 .2T21sin3fxA因为 的图象经过点 ，所以 .fx3, 3sin,iAf(2)由 ，得 ，即312fficos12，即 .因为sin3cos1,2sin131sin2或 .0,6516. 解：(1)因为 分别为棱 的中点，所以 ，又因为底面,MN,PDC/MNDC是矩形
9、，所以 .又 平面 平面 ，所ABCD/ABAB,PABPAB以 平面 ./P(2)因为 为 的中点，所以 .因为平面 平面 ，又,CD平面 平面 平面 ，所以 平面 ，A,BCADCABDPA又 平面 ，所以 .因为 平面MPMP平面 .,CD17. 解：(1)由题意，知 .又22332114,a a，所以椭圆的标准方程为 .221,3cabc2xy(2)设直线 的方程为 .若 时，AB1ykx0k.24,4ABaFDOF若 时， 的中点为 ，代入椭圆方程，整理得0k12,xy0,Mxy，所以22380k2 212 002 24646143, ,1334kkkkxxxykx ，所以 的垂直平
10、分线方程为 .因为 ，所以点AB2214343kkyxDAB为 的垂直平分线与 轴的交点，所以Dx，因为椭圆的左准线的方程为 ，222,013434kkkDF 4x离心率为 ，由 ，得 ，同理12142AFx14x，所以 ，22 1201, 34kBFBx4ABDF综上，得 的值为 .AD418. 解：设 与半圆相切于点 ，则由四边形 是等腰梯形知，EQCDEF，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系,OQlOFxOy.xy(1)设 圆切于 ，连结 过点 作 ，垂足为 .因为EFGEHAB，所以,HFF.12RttOt由 .2221,024EFEtt(2) 设修建该参观线路的
11、费用为 万元. 当y，由 ，则 在 上11320,52534ttytt 2350yty1,3单调递减，所以当 时， 取得最小值为 . 当 时，3ty1，所以211638224ytt tt，2336 tt，且当 时， ；当 时， ，所以21,310tt1,3t0y1,2t0y在 上单调递减，在 上单调递增.所以当 时， 取得最小值为 . 由 y,2t45知， 取得最小值为 .45答：（1） 的长为 百米；（2）修建该参观线路的最低费用为 万元.EF1t 24519. 解：(1)由条件，知 ，即21112abqdbqa，212,0dbq.,(2)由 ，即 ，所以 ，同mprabpmprabpmrp
12、dbq理可得，因为 成等差数列，所以 .记1rmrdq,r 12rr，则有 ， ，故 ，即pqt20t1,qtt.记 ，则 为奇函数，又公差大于 ，所以,mpm1，即 ，当 时， 取最大值为 .1133,2q132qq132(3)满足题意的数组 ，此时通项公式为,E.13,28mnanN例如： .1,48na20. 解：(1)当 时， ，即22cos,sinfxxfx， 在 上单调递增.si,10gxggR(2) . 当 时，sin,2csfxaxax12a，所以函数 在 上单调递增.若 ，则 ；1cos0gxfxR0x0fxf若 ，则 ，所以函数 的单调增区间是 ，单调减区间fxff ,是 ，所以 在 处取得极小值，符合题意.当 时，, 12a，所以函数 在 上单调递减.若 ，则1cos0gxxfxR0x；若 ，则 ，所以 的单调减区间是ff0ff，单调增区间是 ，所以 在 处取得极大值，不符合题意 . 当0,x时， ，使得 ，即 ，但当 时，12a0x0cos2a0gx0,x，即 ，所以函数 在 上单调递减，所以cosxgfx,，即函数 在 单调递减，不符合题意.综上所述， 的取值fff0, a范围是 .1,2（3）记 . 若 ，注意到 ，则 ，2cosln0hxaxalnx12lx即 ， 当 时，ln214a2si1lhxa
