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1、山东省泰安市第一中学 - 1 - 2009 年年导导数高考数高考题题 一、选择题选择题 1.(2009 年广东卷文)函数 x exxf) 3()(的单调递增区间是 A. )2 ,( B.(0,3) C.(1,4) D. ), 2( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】D 【解析】 ( )(3)(3)(2) xxx fxxexexe ,令( )0fx,解得2x ,故选 D 2 （2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切，则 的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (,)P xy，则 0000 ln1,()yxayx
2、,又 0 0 1 |1 x x y xa 000 10,12xayxa .故答案选 B 3.（2009 安徽卷理）设ab,函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 解析： / ()(32)yxaxab，由 / 0y 得 2 , 3 ab xa x ，当xa时，y取极大 值 0，当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负。故选 C。 或当xb时0y ，当xb时，0y 选 C 4.（2009 安徽卷理）已知函数( )f x 在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx ，则曲线 ( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是 （A）21yx （B）yx （C）32yx （D）23y
3、x 解析：由 2 ( )2 (2)88f xfxxx 得 2 (2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx， 山东省泰安市第一中学 - 2 - 即 2 2 ( )(2)44f xfxxx， 2 ( )f xx /( ) 2fxx，切线方程为 12(1)yx ，即210xy 选 A 5.（2009 安徽卷文）设，函数的图像可能是 【解析】可得 2 ,() ()0xa xbyxaxb为的两个零解. 当xa时,则( )0xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 C。 【答案】C 6 （2009 江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9
4、 4 yaxx都相切， 则a等于 A1或 25 - 64 B1或 21 4 C 7 4 或 25 - 64 D 7 4 或7 答案：A 【解析】设过(1,0)的直线与 3 yx相切于点 3 00 (,)x x，所以切线方程为 32 000 3()yxxxx 即 23 00 32yx xx，又(1,0)在切线上，则 0 0x 或 0 3 2 x ， 当 0 0x 时，由0y 与 2 15 9 4 yaxx相切可得 25 64 a ， 当 0 3 2 x 时，由 2727 44 yx与 2 15 9 4 yaxx相切可得1a ，所以选A. 7.（2009 江西卷理）设函数 2 ( )( )f xg
5、 xx，曲线( )yg x在点(1, (1)g处的切线方 程为21yx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处切线的斜率为 山东省泰安市第一中学 - 3 - A4B 1 4 C2D 1 2 答案：A 【解析】由已知(1)2 g ，而( )( )2fxg xx，所以(1)(1)2 14fg 故选 A 8.（2009 天津卷文）设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x 2 ,x 下面的不 等式在 R 内恒成立的是 A 0)(xf B 0)(xf C xxf)( Dxxf)( 【答案】A 【解析】由已知，首先令0x ，排除 B，D。然后结合已知条件排除 C,得到
6、 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特 点，考查了分析问题和解决问题的能力。 9.(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R t。若球的体积以均匀速度 c 增 长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 3 4 ( )( ) 3 V tR t，则 2 ( )4( )( )cV tR t R t，由此可 得 4( ) ( )( ) c R t R t R t ，而球的表面积为 2 ( )4( )
7、S tR t， 所以 2 ( )4( )8( )( )vS tR tR t R t 表 ， 即 22 8( )( )2 4( )( )( ) ( )( )( ) cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 ，故选 D 10.（2009 全国卷理）曲线 21 x y x 在点 1,1处的切线方程为 A. 20xy B. 20xy C.450xy D. 450xy 解解： 111 22 2121 |1 (21)(21) xxx xx y xx , 山东省泰安市第一中学 - 4 - 故切线方程为1(1)yx ,即20xy 故故选选 B. 11.（2009 湖南卷文）若函数(
8、 )yf x的导函数在区间 , a b 上是增函数， 则函数( )yf x在区间 , a b 上的图象可能是【 A 】 A B C D 解: 因为函数( )yf x的导函数( )yfx在区间 , a b 上是增函数，即在区间 , a b 上 各点处的斜率k是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中yk 为常数噢. 12.（2009 陕西卷文）设曲线 1* () n yxnN 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 n x,则 12n xxx的值为 (A) 1 n (B) 1 1n (C) 1 n n (D) 1 答案:B 解析: 对 1* ()(1) nn yxnNynx 求导得,令
9、1x 得在点（1，1）处的切线的斜率 1kn,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1) nn yk xnx ,不妨设0y , 1 n nn x 则 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn , 故选 B. 13.（2009 天津卷理）设函数 1 ( )ln (0), 3 f xxx x则( )yf x A 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均有零点。 B 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均无零点。 C 在区间 1 ( ,1) e 内有零点，在区间(1, ) e内无零点。 ababa o x o x y ba o x y o x y b y
10、山东省泰安市第一中学 - 5 - D 在区间 1 ( ,1) e 内无零点，在区间(1, ) e内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得 x x x xf 3 31 3 1 )( ，令0)( xf得3 x；令0)( xf得 30 x；0)( xf得3 x，故知函数)(xf在区间)3 , 0(上为减函数，在区间 ) , 3 ( 为增函数，在点3 x处有极小值03ln1 ；又 01 3 1 ) 1 ( , 0 1 3 , 3 1 )1( ee f e eff，故选择 D。 14.（2009 重庆卷文）把函数 3 ( )3f xxx的图像 1 C向右平移u个单位长度，再向下
11、 平移v个单位长度后得到图像 2 C若对任意的0u ，曲线 1 C与 2 C至多只有一个交 点，则v的最小值为（ ） A2B4C6D8 【答案】B 解析根据题意曲线 C 的解析式为 3 ()3(),yxuxuv则方程 33 ()3()3xuxuvxx，即 23 3(3)0ux uuv，即 3 1 3 4 vuu 对任意 0u 恒成立，于是 3 1 3 4 vuu 的最大值，令 3 1 ( )3 (0), 4 g uuu u 则 2 33 ( )3(2)(2) 44 g uuuu 由此知函数( )g u在（0，2）上为增函数，在 (2,) 上为减函数，所以当2u 时，函数( )g u取最大值，即
12、为 4，于是4v 。 二、填空填空题题 15.（2009 辽宁卷文）若函数 2 ( ) 1 xa f x x 在1x 处取极值，则a 【解析】f(x) 2 2 2 (1)() (1) x xxa x f(1) 3 4 a 0 a3 【答案】3 16.若曲线 2 f xaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 山东省泰安市第一中学 - 6 - 解析解析 解析：由题意该函数的定义域0x ，由 1 2fxax x 。因为存在垂直于 y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x 范围内导函数 1 2fxax x 存在 零点。 解法 1 （图像法）再将之转化为 2g xax 与 1 h x
13、 x 存在交点。当0a 不符合 题意，当0a 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当0a 如图 2，此时正好 有一个交点，故有0a 应填,0 或是|0a a 。 解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 1 20ax x 在0, 内有解，显然可得 2 1 ,0 2 a x 17.（2009 江苏卷）函数 32 ( )15336f xxxx的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 2 ( )330333(11)(1)fxxxxx， 由(11)(1)0xx得单调减区间为( 1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 18.（2009 江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点
14、P 在曲线 3 :103C yxx 上，且在 第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 2 31022yxx ，又点 P 在第二象限内，2x 点 P 的坐标为（-2，15） 19.（2009 福建卷理）若曲线 3 ( )lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值 山东省泰安市第一中学 - 7 - 范围是_. 【答案】：(,0) 解析：由题意可知 2 1 ( )2fxax x ，又因为存在垂直于y轴的切线， 所以 2 3 11 20(0)(,0) 2 axaxa xx 。 20.(2009 陕西卷理)设曲线 1* () n yxnN
