《计量经济学非线性回归模型的线性化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计量经济学非线性回归模型的线性化（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、个人收集整理 勿做商业用途以上介绍了线性回归模型.但有时候变量之间地关系是非线性地.例如 yt = a 0 + a1+ ut yt = a 0 + ut上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数地.可采用非线性方法进行估计.估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现.计算机地出现大大方便了非线性回归模型地估计.专用软件使这种计算变得非常容易.但本章不是介绍这类模型地估计.文档收集自网络，仅用于个人学习另外还有一类非线性回归模型.其形式是非线性地，但可以通过适当地变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型地估计与检验方法进行处理.称此类模型为可线性化地非线性模型.下面介绍几种
2、典型地可以线性化地非线性模型.文档收集自网络，仅用于个人学习4.1 可线性化地模型 指数函数模型 yt = (4.1)文档收集自网络，仅用于个人学习b0 和b 0) 图4.2 yt =, (b 0和b 0) 图4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0情形地图形见图4.7.xt和yt地关系是非线性地.令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得文档收集自网络，仅用于个人学习 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型.其中ut表示随机误差项. 图4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b 0) 图4.8 yt = a + b/xt ,
3、(b 0)文档收集自网络，仅用于个人学习双曲线函数还有另一种表达方式，yt = a + b/xt + ut (4.11)文档收集自网络，仅用于个人学习b0情形地图形见图4.8.xt和yt地关系是非线性地.令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut上式已变换成线性回归模型.例 4.2（P139，例3.5 多项式方程模型一种多项式方程地表达形式是yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (4.12)文档收集自网络，仅用于个人学习其中b10, b20, b30和b10, b30, b20和b10, b2 0情形地图形分别见图4.13和4.14
4、.美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体地生长，得到了上述数学模型.生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程.其中k和0分别为yt地生长上限和下限.= k, = 0.a, b 为待估参数.曲线有拐点，坐标为（,），曲线地上下两部分对称于拐点.文档收集自网络，仅用于个人学习 图4.13 yt = k / (1 +) 图4.14 yt = k / (1 +)文档收集自网络，仅用于个人学习为能运用最小二乘法估计参数a, b，必须事先估计出生曲线长上极限值k.线性化过程如下.当k给出时，作如下变换，文档收集自网络，仅用于个人学习 k/yt = 1
5、+ 移项， k/yt - 1 = 取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut (4.18)文档收集自网络，仅用于个人学习令yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则 yt* = b* - a t + ut (4.19)文档收集自网络，仅用于个人学习此时可用最小二乘法估计b*和a.图4.15 内地5月1日至28日每天非典数据一览 龚伯斯（Gompertz）曲线英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长地一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品地发展过程.曲线地数学形式是，文档收集自网络，仅用于个人学习 yt = 图4.
6、15 yt =曲线地上限和下限分别为k和0，= k, = 0.a, b 为待估参数.曲线有拐点，坐标为（,），但曲线不对称于拐点.一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数.线性化过程如下：当k给定时，文档收集自网络，仅用于个人学习yt / k = ， k/yt = Ln (k/yt) = ， LnLn(k/yt) = Lnb - a t 令y*= LnLn(k/yt), b* = Lnb，则y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估计b* 和 a. Cobb-Douglas生产函数下面介绍柯布道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数.其形式是Q =
7、 k La C 1- a (4.24)文档收集自网络，仅用于个人学习其中Q表示产量；L表示劳动力投入量；C表示资本投入量；k是常数；0 a 1.这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面地数据研究得出地.a地估计值是0.75，b地估计值是0.25.更习惯地表达形式是文档收集自网络，仅用于个人学习yt = (4.25)这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估计，但可先作线性化处理.上式两边同取对数，得：Lnyt = Lnb0 + b1 Lnxt 1 + b2 Lnxt 2 + ut (4.26)文档收集自网络，仅用于个人学习取 yt* = Lnyt, b0* = Ln b0, xt 1* = Ln xt 1, xt 2* = Ln xt 2，有文档收集
