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1、因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b2 解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）2 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两
2、项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m 解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx2 +px+q形式的多项式，如果ab=m,cd=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 7=7, 2(-3)=-612+7(-3)=-19 解：7x2
3、 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x2 +6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2 -(7 ) 2=(x+3)+7*(x+3) 7 =(x+10)(x-4) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a
4、)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x4 x3 -6x2 -x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起) 解：2x 4x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2 =x2 2x2 + ()2-(x+ )-6令y=x+ , x2 2x2 +( )2-(x+)-6 =
5、 x2 2(y2 -2)-y-6 = x2 (2y2 -y-10) =x 2(y+2)(2y-5) =x2 (x+ +2)(2x+ -5) = (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2) =(x+1)2 (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2 ,x3 ,xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )(x-xn ) （一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根）例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通
6、过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 ,则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法（这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的） 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,xn ，则多项式可因式分解为从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以 解得 则x4 x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)(x-xn ) 例9、因式分解x
7、3 +2x2 -5x-6 解：令y= x3 +2x2 -5x-6 作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2 则x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c) =(b-c) a2 -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将
8、2或10（或其它数）代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15 解：令x=2，则x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x3 +9x2 +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x4 x3 -5x2 -6x-4 如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x4 x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d) = x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd
