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1、一元二次方程的根与系数的关系（一）一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题
2、，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。（二）重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学
3、生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。学情分析1学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。（三）教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程
4、，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。二、设计理念根据教材内容和本人研究的课题初中数学问题引探教学实验研究，在教学中渗透新课标的精神，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。三、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思
5、过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。2、采用“实践（练习）观察发现猜想证明”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。四、课时划分及教学过程（一）课时划分共分3课时第一课时1、根与系数的关系。2、根与系数的关系的应用。（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。第二课时1、已知两数求作新方程。2、由已知两根和与积的值或式
6、子，求字母的值。第三课时方程判别式、根与系数的关系的综合应用。第一课时 一元二次方程根与系数的关系（1）一、教学目标1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。4、在推导过程中，培养学生“观察发现猜想证明”的研究问题的思想与方法。二、重难点根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。三、教学过程（一）问题引探问题1.在方程ax2+bx+c
7、=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。问题2.一元二次方程有几种解法？（直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。）问题3.解一元二次方程的公式是什么，方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？问题4.解下列方程：（自己动手解）（1）x2-7=0 （2）x2-4x+3=0（3）x2+x-3=0（4）3x2+5x+3=0并根据问题2和以上的求解填写下表（1）x2-7=0 x1+x2=_x1x2=_
8、（2x2-4x+3=0 x1+x2=_x1x2_（3）x2+x-3=0 x1+x2= _x1x2= _ （4）3x2+5x+3=0 x1+x2= _ x1x2= _ 请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题5.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a0）的根 x1，x2与a、b、c之间的关系：x1+x2=_，x1 x2= _ .问题6.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a0）的两根为 则x1+x2=_+_=_x1 x2=_ =_ 即：如果ax2+bx+c=0（
9、a0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2=由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。说明：1、本设计采用“实践观察发现猜想证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。 （二）尝试发展试一试：根据根与系数的关系写出下列方程
10、的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）x2-6x+15=0 （2）x2+5x+9=0 （3）5x2+x-2=0 （4）5x2+kx-6=0 （此试一试作为巩固知识而用）尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。组织学生自己分析解决，然后在草稿本上练习。尝试题2、已知方程x2+ax-6=0的两根为x1、x2，求a的值尝试题3、已知方程x2-3x+c=0的一个根为2，求它的另一个根及c的值尝试题4、已知方程x2+ax+b=0的两根为2和3，则a =_，b=_。若两根互为相反数，则a =_，b=_。尝试题5、利用根与系数的关系，求一元二次方程x
11、2-5x+6=0的两个根为x1，x2求（1）x12+ x22 （2）x12+ x22+ x1x2; （3）倒数和讨论：解上面问题的思路是什么？得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; (将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式)（三）归纳小结本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。2、a0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、a0，且b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、2 则 x1+x2=_，x1x2=_ 。4、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。（四）布置作业：完成导学案练习（五）板书设计（
12、略一元二次方程根与系数的关系的教学反思本节课通过情景设置，激发起学生的好奇心和求知欲，在此推动下，引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系进行探究，这样处理基于如下的原因， 使得每一位学生都能参与探究，学生的认知能力总是有所差异的， 给予学生一个适度的梯度探究空间，在循序渐进的教学原则下，通过“特例探究一般猜证深化理解”的教学设计，由“实验猜想再实验再猜想”的探究过程，使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程，学生在这样的氛围下，会感到新知是旧知的自然延伸和自然流露，对于学生而言，既经历了一次探究性学习，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的机会。总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想，以此为载体，充分发挥其素质教育的功能，培养起学生的发散性思维和探究能力。
