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1、7.1 为什么要证明【设计者】郑州市第七十七中学 张晓敏【内 容】北师大版八年级上第七章第一节为什么要证明【基于目标】经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识【基于课标】理解证明的必要性和反例的作用【基于对教材的理解】1、北师大版第七章平行线的证明本章内容是根据一些基本事实推出其他结论的过程，证明平行线的性质及判定的一些有关结论，证明三角形内角和定理，还将讨论三角形的内角与外角的关系也就是进入几何严谨证明的学习，前几册对有关几何结论也曾进行过简单的说理，但是并没有严格地给出证明.虽然本章只是证明的初步，但是它对
2、认识证明的必要性，了解作为证明基础的公理、定义、定理等非常重要。 2、作为本章的第一节内容为什么证明，学生自身的感受很重要。学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。从内容设置上来说引入思考，由代数到几何、从直观的猜测到严格的计算证明，利用教学资源配合学生活动重新整合，落实每一个教学目标本节课也为今后学习平行线的判定、三角形内角和定理的验证奠定基础，因此本节课在教材中具有承上启下的作用。【基于对学情的分析】1、学生已有的知识基础 在七年级时学生学习了与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，本课程的教学
3、对象是八年级学生，学生具备一定数学知识储备，不难掌握基础知识。学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础。2、已有的活动经验在代数方面有一定的计算基础，如整式的运算。 在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的讨论、自主探究等活动有很大的帮助。3、学习本节可能出现的难点 在地球赤道一题中，赤道的长度是未知的，对于题目的理解以及计算可能存在问题；初步了解证明方法【学习目标】1、经历观察、直觉、归纳、实验等过程，在活动中体会到观察、直觉、
4、归纳、实验所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，形成初步的理性思维。2、通过小组合作交流活动中，体会理性思维、逻辑分析的重要性，发展逻辑推理能力。3、体会检验数学结论的常用方法：计算验证、举反例、实验验证，会用推理方法判断结论的正确性，发展学生的推理意识。【学习重点】由直观感受到逻辑思考的转变，意识到证明的必要性【学习难点】发展逻辑推理能力，初步了解证明方法【评价任务】任务一：能总结观察、实验、归纳、测量所得到的结论未必可靠任务二：能简单地运用反例法、演绎推理进行证明【评价标准】1、学生通过大胆猜测，独立思考，动手操作，积极交流，能总结出观察、实验、归纳、测量所得到的结论未必可靠2、能用
5、反例法、演绎推理论证自己的观点【评价方式】以小组合作交流性评价和表现性评价以及检测性评价为主。【学习过程】第一环节：创设情境，引入新课活动1：展示三个图片，学生感知。第一个操作图，学生跟着提示进行简单的操作，让学生产生好奇。第二个图让学生观察，产生思维冲突。第三个图，先让学生通过观察图形，猜一猜哪个长，然后通过平移，发现猜想是错的。提问：通过这三组图片，你有什么感受？设计意图：利用课外有趣的信息去寻找适合本节课程内容的图片，在课堂展现时不局限于单一图片展示，而是需要多媒体的支撑。激发学生学习兴趣，让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而引出本节课
6、的课题为什么要证明。第二环节：计算验证，感受新知如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 活动2：思考：这本身是一个实际问题，要想解决实际问题，我们要把它转化为（数学问题），那也就是我们常说的数学建模的过程。怎么把它转化为数学问题呢？ 拿出准备好的小球和铁丝，请同学来演示一下铁丝将地球赤道围起来。通过变换角度，很直观地观察发现：地球赤道和铁丝是同心圆的关系。尝试自己独立计算间隙。 小组合作学习：组内分享解题方法，组内答疑。 展示：首先，说明小组的猜想 其次，简单讲解解题过程 再次，计算
7、得到的结论与猜想的结论一样吗？ 最后，你从中受到了什么启发？参考答案：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头 充分调动学生积极思考的能力，让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材设计意图：作为一个非常具有趣味性的题，在此呈现，给学生一个充分发挥想象力的过程，而本题对大部分学生来说也是一个难题，本题数据较少，让学生望而却步，教师引导学生用字母表示代数式，再进行运算。第三环节：自主探究，深入思考
8、活动3：从前，有一个大数学家费马，他发现当n=0,1,2,3,4时，这个代数式的结果都是质数，于是这个就是一个求质数的公式，由于费马在数学界的崇高威望，而且代数式的计算量又比较庞大，因此没有人怀疑这一结论。将近过了100年，经过欧拉的不懈努力，敢于挑战权威，他证明当n=5时，代数式的值不是质数，从而推翻了之前的结论。这个小故事告诉我们什么大道理？ 通过介绍费马的错误一例，让学生了解举出反例是检验错误数学结论的一种有效方法。展示例题当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n2 -n+11的值是质数吗？n01234567891011n2-n+1111111317233141536783101121是
9、否为质数是是是是是是是是是是是不是 学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数，但当n=11时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性。设计意图：这个环节的分组共研很重要，独自运算的量会大，所以采用接龙的方式，每个人承担一定的计算可以快速得到反例第四环节：在ABC中，点D，E分别是AB,AC的中点，连接DE. DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你猜一猜，再设法检验你的猜想。 拿出事先准备好的三角形ABC，取AB的中点D，AC的中点E，连接DE，观察自己的三角形，猜一猜DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？让
10、学生通过对图形的直观感受做出猜想得出结论，引导学生思考图形千变万化，而每次都需要动手测量验证，同时也会产生误差。要使学生清楚地知道对几何结论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述。设计意图：通过对几何图形的直观感受得出结论，但要使学生清楚地知道对几何结论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述。第五环节：小结、当堂检测、布置作业 在本节课快接近尾声的时候，同学们回忆下本节课的内容，谈谈你的收获。 当堂检测设置了三道题，考察了学生的证明意识和推理能力。必做题：P163(1);P164(2)(3)选做题: 搜集哥德巴赫猜想的小故事，阅读后在班级交流自己的看法。【板书设计】观察测量经验证明归纳 为什么要证明不一定可靠【教学反思】本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感受，并从学生的直观感受出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生感受到观察、经验、归纳、测量得到的结论不可靠，意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位。同时也培养了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感受：数学来源于生活，服务于生活，同时也要用数学的眼光看世界，切勿盲信于自己的直观感觉.每一个地方都考虑到学生情感与价值观的培养。
