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1、3.5 向量与矩阵的范数,一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一确定的实数与其相对应，该实数记为|X|，若|X|满足下面三个性质： (1)(非负性)|X|0，|X|=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，| X|=| | |X|。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，|X+Y|X|+|Y| 则称该实数|X|为向量X的范数,几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,.,xn)T,（1）向量的1范数：,（2）向量的2范数：,（3）向量的范数：,（4）向量的p范数：,(1p),例 ：设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数,=7,=4,注：前三种
2、范数都是p范数的特殊情况。其中,向量范数的连续性:,定理3.3 设f(X)=|X|为Rn上的任一向量范数,则f(X)为X的分量x1,x2,xn的连续函数.,定理3.4 若|X|p与|X|q为Rn上任意两种范数，则存在C1，C20，使得对任意XRn，都有： C1 |X|p |X|q C2 |X|p,（证明略）,注：同样有下列结论：存在C3,C40 使得： C3 |X|q |X|p C4 |X|q,向量范数的等价性,注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， Rn上任意两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量范数的等价性。,向量序列的收敛问题,定义：假定给定了Rn空间中的向量序列
3、X(1),X(2),.,X(k),.，简记为X(k)，其中X(k)=(x1(k),x2(k),.,xn(k)T，若X(k)的每一个分量xi(k)都存在极限xi，即 则称向量X= (x1，x2，.，xn)T为向量序列X(k)的极限，或者说向量序列X(k)收敛于向量X，记为,x1,x2,xn,(k),(k),例：设,解: 显然，当k时，,注：显然有：,定理3.5 在空间Rn中，向量序列X(k)收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数|，有：,定理3.5 在空间Rn中，向量序列X(k)收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数|，有：,二、矩阵范数：设A是nn 阶矩阵，ARnn XRn， |X|为Rn中的
4、某范数，称,为矩阵A的从属于该向量范数的范数，或称为矩阵A的算子，记为|A|。,|A|=,几种常用的矩阵范数,常用的矩阵范数有A的1范数、 A的2范数、 A的范数，可以证明下列定理:,定理3.6 设ARnn，XRn，则,(又称为A的列范数),(为ATA的特征值中绝对值最大者),(又称为A的行范数),列元素绝对值之和的最大值,行元素绝对值之和的最大值,例：设A=,求A的各种范数,解：,|A|1=6，|A|=7,|E-AA|=0,2-30+4=0,弗罗贝尼乌斯 (Frobenius)范数 简称F范数,注：,弗罗贝尼乌斯 (Frobenius)范数简称F范数,几种常用的矩阵范数：,Matlab中计算
5、矩阵的范数的命令(函数)：,(1) n = norm(A) 矩阵A的谱范数(2范数), = AA的最大特征值的算术根 . (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷范数) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, fro ) 矩阵A的Frobenius范数.,例6. 计算矩阵A的各种范数,n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, fro),解：A=1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9;,n1=1
6、6，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564,矩阵范数的性质：,（1）对任意ARnn,有|A|0，当且仅当A=0时，|A|=0. （2）|A|=|A|（为任意实数） （3）对于任意A、B Rnn ，恒有 |A+B|A|+|B|. （4）对于矩阵A Rnn，X Rn ，恒有： |AX| |A| |X|. （5）对于任意A、B Rnn 恒有 |AB| |A| |B|,谱半径： 设 nn 阶矩阵A的特征值为 i(i=1,2,3n),则称 (A)=MAX | i| 为矩阵A的谱半径.,1 i n,例5.求矩阵 的谱半径,谱半径=A的特征值中绝对值的最大者,解:,定理3.7设A为任意n阶方
7、阵，则对任意矩阵范数|A|，有： (A)|A|,矩阵范数与谱半径之间的关系为: (A) |A|,证:设为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量,A X = X,两边取范数,得:,| A X | = | X | =| | | X |,| | | X |= | X |= | A X | | A | | X |,由X 0 ,所以 | X | 0 ,故有: | | | A |,所以特征值的最大值|A|，即(A)|A|,定理3.7 设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范数|A|，有： (A)|A|,定理3.8 设A为n阶对称方阵，则有: |A|2= (A),ATA=A2,矩阵序列的收敛性,定义 设Rnn中
8、有矩阵序列A(k)|A(k)=(aij(k)，若,则称矩阵序列A(k)收敛于矩阵A=(aij)，记为,a11,a21,a12,a22,如,a11,a21,a12,a22,则有,关于矩阵序列收敛的性质：,定义 设ARnn中，称|A-B|为A与B之间的距离,其中|A|为Rnn上的某种范数。,定理3.10 设A(0) ，A(1) ，.，A(k)，.为Rnn上的一个矩阵序列，矩阵序列A(k)收敛于矩阵A的充要条件是存在A的某种范数|A|，使得：,即,定理3.11 任意ARnn，有,(证明略),三、方程组的性态和条件数,线性方程组解对系数的敏感性,（误差分析）,这种解依赖于方程组系数的误差A及b的问题，
9、称为线性方程组解对系数的敏感性。,对于线性方程组A X = b来说，由于观测或计算等原因，线性方程组两端的系数A和b都带有误差A和b，这样实际建立的方程组是近似方程组(A+A)(X+X)=b+b。对近似方程组求出的解是原问题的真解X加上误差X,即X+X。而 X是由A及b引起的，它的大小将直接影响所求解的可靠性。,绝对误差,例：方程组,此方程组的准确解为x1=0, x2=-1。现将其右端加以微小的扰动使之变为：,经计算可得它的解为x1=2, x2=-3.,这两个方程组的解相差很大，说明方程组的解对常数项b的扰动很敏感。,相对误差关系式：设有方程组 AX=b (A是可逆矩阵,b0),1）仅常数项有
10、误差的情形:设常数项b有扰动b,则相应的解为X+X，即 A（X+X）=b+b,则有,这说明常数项的相对误差 在解中放大了|A-1| |A|倍。,解的相对误差,常数项的相对误差,2）仅系数矩阵有误差的情形:设方程组的系数A有扰动A，则相应的解为X+X，即 ( A+A) (X+X) =b,这说明系数的相对误差 在解中也放大了|A-1| |A|倍。,一般情形,3)常数项和系数矩阵都有误差的情形: 设方程组的系数A有扰动A，常数项b有扰动b，则相应的解为X+X，即,可推得：,与|A-1|A|有关,( A+A) (X+X) =b+ b,由上面关系式可看到，带有扰动的近似方程组中,扰动的大小直接影响着所求
11、解的相对误差，而解的相对误差都与|A-1|A|有关,故可作如下定义：,定义：设A非奇异，称|A-1| |A| 为矩阵A的条件数,记为Cond (A)，即Cond (A)= |A-1|A|.,当cond(A)1，则方程组称为“病态”的； 当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。,方程组的系数矩阵发生微小扰动，引起方程组性质上的变化，这是方程组本身的“条件问题”。,通常使用的条件数有： （1）cond(A)=|A-1| |A|， （2）cond(A)2=|A-1| 2 |A|2 当A为对称矩阵时，,cond(A)2,（这里max与min分别是A的绝对值最大和绝对值最小的特征值）,cond(
12、A)2,当A为正定矩阵时，,cond(a,p) p=1,2,inf,fro,cond(a,1) cond(a,2) cond(a,inf) cond(a,fro),Cond (A)可反映出方程组解对系数的敏感性。我们通过下面的例子加以理解。,绝对误差,这两个方程组的解相差很大，说明方程组的解对常数项b的扰动很敏感。同时注意到Cond (A)1.2 104 ,可见条件数很大,因而是病态方程组.,例:方程组,现将其右端加以微小的扰动使之变为：,经计算可得它的准确解为x1=2, x2=-3.,准确解为x1=0, x2=-1,一般来说，方程组的条件数越小，求得的解就越可靠；反之，解的可靠性就越差。,病
13、态方程组的求解问题：,首先考虑怎样判断方程组是否属于病态方程组。,设方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，计算A的条件数，是判断病态方程组的可靠方法。但在实际问题中，当方程组的规模较大时，计算条件数的工作量很大，甚至超过了求解方程组的计算量。一般采用下列方式，初步进行直观的判断。,1）当det(A)相对来说很小,或者A的某些行（或列）近似线性相关，Ax=b可能病态;,如果确定待解的方程组Ax=b是一个病态方程组,则数值求解必须小心，选择合适的方法，否则难以达到要求的精确度。一般方法有：,2）当系数矩阵A中元素的绝对值相差很大且无规则， Ax=b可能病态；,3）如果采用Gauss选主元消去法求解，在
14、消元过程中出现小主元， Ax=b可能病态；,4）求解方程组时，出现一个很大的解， Ax=b可能病态。,方法1 采用尽可能高精度的运算，例如双精度或多精度，以改善和减轻矩阵病态的影响，但此时的计算量将大大增大。,例 方程组,1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7,x1 x2 x3 x4,25/12 77/60 57/60 319/420,=,它的精解为 x=,分别用3位和5位有效数字舍入运算的消去法求解，得到的解分别为,x=(0.988，1.42，-0.428, 2.10)T 和 x=(1.0000，0.9995
15、0，1.0017, 0.99900)T,显然后者的精度大大提高了,方法2 采用豫处理，降低矩阵A的条件数，以改善方程组的病态程度。,例如当系数矩阵A元素的数量级差别很大时，可以对某些行或列乘上适当的数，使得A的所有行或列按某种范数大体上有相同的长度。我们称这种方法为行（列）均衡法。,例 设方程组,1 104 1 1,=,考虑用均衡法改善它的条件数。,解：矩阵A的条件数cond(A)104，方程组是病态的。为了使各行元素的大小均衡，将第一个方程乘以10-4，得到方程组,10-4 1 1 1,=,BX =,cond(B)4,再计算矩阵B的条件数cond(B)4，显然经过行均衡后，系数矩阵的条件数得到很大的改善。,方法3 采用近似解的迭代改善方式，逼近方程组的精确解。,设x是方程组Ax=b的近似解，则以其残余
