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1、二次函数图象与性质 (一) 【知识要点】 1你能用描点法作出二次函数图像吗？你能总结出有什么性质吗？ 2 axy 2 axy 2通过作图，我们能得到和有哪些图像性质吗？ 2 axy caxy 22 )(hxay 3你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗? 4你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数的数学模型？caxy 2 【典型例题】 例 1 、在同一坐标轴中作出二次函数 y=x 和 y=-x 的图象，并在下表总填出它的性质。 22 抛物线 y=x2y=-x2 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 例 2 试在同一坐标系内画出与以及的图像，并依据图像回答问题： 2 2xy32
2、2 xy32 2 xy 抛物线与和有什么关系？ 2 2xy32 2 xy32 2 xy 小结：y=ax +c 的图象与 y=ax 的图象形状 22 其对称轴为 轴 顶点坐标为（ , ） 当 a0 时，开口 ，y=ax +c 图象有最 点；当 x=0 时，y 有最 值为 ；当 a0 时，是由 y=ax 向 平移 c 个单位，当 c0 时，开口向上，图象有最_点，当 x=h 时，y 有最 值为 0； 当 a0 时，由 y=ax 的图象向右平移 h 个单位；当 h0 时，由 y=ax 向左平移|h|个单位，简称“ 22 ” 例 4 函数与 y=（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）3 2 kx
3、y x k 例 5 如果二次函数的值恒大于 0，那么必有（ ）maxy 2 A、a0，m 取任意实数 B、a0，m0 C、a0，m0 D、a，m 均可取任意实数 例 6 若二次函数，当取时，函数值等，则当取时，函数值为（ caxy 2 x)(, 2121 xxxxx 21 xx ） A、B、C、D、ca ca cc 2010 秋季 M09TA24 3 例 7 已知抛物线上有两点 A、B，其横坐标分别为1，2，请探求关于 a 的取值情况，)0( 2 aaxy ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流. 例 8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水
4、泥建筑物，大门在地面跨度为 8 米，两侧距地面 4 米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，则校门的高度为 。（精确 到 0.1 米） 例 9（2009 年滨州） 如图，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯 形中，对于抛物线部分，其顶点为ABCDABDC20cm30cm45ABDCADC， 的中点，且过两点，开口终端的连线平行且等于CDOAB、MNDC （1）如图所示，在以点为原点，直线为轴的坐标系内，点的坐标为，OOCxC(15 0)， 试求两点的坐标；AB、 （2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）； 【经典练习】 1
5、、（2009 年广西钦州）将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是（ ） Ay2x23By2x23 Cy2（x3）2 Dy2（x3）2 2、（2009 年嘉兴市）年嘉兴市）已知0a，在同一直角坐标系中，函数axy 与 2 axy 的图象有可能是（ ） 6 米 4米 8 米 B AO 第 3 题图 N B C D A M y x （图） ） O O y x 1 1 A x y O 11 B x y O11 C x y O 11 D 3、（2009 年甘肃庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形 状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（2）
6、建立平面直角坐标系，则抛物线 的关系式是（ ） A 2 2yx B 2 2yx C 2 1 2 yx D 2 1 2 yx 4函数 y=x2的顶点坐标为 若点（a，4）在其图象上，则 a 的值是 5若点 A（3，m）是抛物线 y=x2上一点，则 m= 6函数 y=x2与 y=x2的图象关于 对称，也可以认为 y=x2，是函数 y=x2的图象绕 旋 转得到 7抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 x 时，32 2 xy y 随 x 的增大而增大， 当 x 时， y 随 x 的增大而减小. 8将抛物线向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移 3 个单位得到 2 3 1 xy
7、 的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。 9任给一些不同的实数 k，得到不同的抛物线，当 k 取 0，时，关于这些抛物线有以下判kxy 2 1 断：开口方向都相同；对称轴都相同；形状相同；都有最低点。其中判断正确的是 。 10抛物线向上平移 4 个单位后，所得的抛物线是 ，当 x 时，该抛物线12 2 xy 有最 （填大或小）值，是 。 11（2009 年兰州）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点， 2 2 3 yx 0 A 点， 在 y 轴的正半轴上，点， 1 A 2 A 3 A 2008 A 1 B 2 B 3 B 在二次函数位于第一象限的图象上，若,， 2008
8、B 2 2 3 yx 011 A B A 122 AB A ，都为等边三角形，则的边长 . 233 A B A 200720082008 ABA 200720082008 ABA 12已知函数：， 和。 2 2 1 xy3 2 1 2 xy1 2 1 2 xy （1）在同一坐标轴中画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；6 2 1 2 xy 图（1） 图（2） 2010 秋季 M09TA24 5 （4）试说明函数、的图象分别有抛物线作怎3 2 1 2 xy1 2 1 2 xy6 2 1 2 xy 2 2 1 xy 样
9、的平移才能得到 抛物线开口方向对称轴顶点坐标 2 2 1 xy 3 2 1 2 xy 1 2 1 2 xy 6 2 1 2 xy 13、（2009 年衢州）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2 yax上 (1) 求 a 的值 (1)求点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标； 【作业作业】日期日期 姓名姓名 完成时间完成时间 成绩成绩 1若二次函数 y=ax2（a0），图象过点 P（2，8），则函数表达式为 2函数 y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点 3点 A（ 2 1 ，b）是
10、抛物线 y=x2上的一点，则 b= ；点 A 关于 y 轴的对称点 B 是 ，它 在函数 上；点 A 关于原点的对称点 C 是 ，它在函数 上 4x2 2 A 8 -2O -2 -4 y 6 B -4 4 4抛物线 y=4x24 的开口向 ，当 x= 时，y 有最 值，y= 5当 m= 时，y=（m1）x mm 2 3m 是关于 x 的二次函数 6抛物线 y=3x2上两点 A（x，27），B（2，y），则 x= ，y= 7当 m= 时，抛物线 y=（m1）x mm 2 9 开口向下，对称轴是 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 8.试写出抛物线经过下列平移
11、后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 2 3xy （1）右移 2 个单位；（2）左移个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。 3 2 9.二次函数的图象如图：已知，OAOC，试求该抛物线的解析式。 2 hxay 2 1 a 10.已知函数。41 2 xy （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与 x 轴的交点为 A、B 和与 y 轴的交点 C，求ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移 2 个单位，在向上平移 4 个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。 （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当 x 取何值时，函数值大于 0；当 x 取何值时，函数值小于 0。
