《第三章-集合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章-集合（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、73.13.2集合的概念及其运算 教学重点 集合的概念及表示，集合的运算，集合的定律 教学目的 1、深刻理解子集、空集、全集、集合表示、集合相等、幂集等基本概念。2、熟练掌握集合的并、交、补、运算；能用文氏图表示集合运算。3、熟练掌握集合运算的基本定律，能熟练地应用这些定律证明集合恒等式。 教学准备 教学方法讲述法 课时安排二课时。 教学过程讲述：前面我们已经讲述了数理逻辑部分，其中我们用到了一些基本概念，真值函数、全功能集、个体域等等，这些概念中用到了函数、集合等等我们并没有定义的概念。从这章开始，我们将仔细研究分析这个概念及应用。显然，集合、函数等概念应该在逻辑理论介绍之前给出的，显见这些
2、概念是一个基础性的东西。其中集合是现代数学的基础，所以我们将从最为基本的概念集合开始。阐述集合论的概念及理论。板书一 集合基本概念1 集合的概念一个集合是一些有定义的事物组成的整体。这些事物是此集合的元素或成员。元素可以是任意的、但必须是确定的。2 集合的表示(1) 枚举法：列出集合的全体元素。1,2,3,4; 3,2,1,4; a,b,c; a,b,b,b,c,c,c,c讲述：各元素的先后次序并不重要，而重复则通常可以忽略。 板书：(2) 描述法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来。x| p(x)（x为该集合的元素的一般形式，p(x)为这个集合的元素的共同属
3、性）讲述：如：小于的正实数组成的集合表示为：x|0x x|1x3; x|x是自然数注意对于所有的x，p(x)应或真或假。如果存在元素y，使得p(x)既不真也不假，那么x|p(x)不能表示集合，这正是元素的确定性所在。板书： 元素确定性：任意的x，p(x)应或真或假。板书： (3) Venn图为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。板书：3 集合内的关系：(1) 元素与集合：讲述：如果一个事物是组成一个集合的元素，则为属于，否则为不属于，分别用和表示，如3N，3.2N。板书：属于、不属于(2) 集合与集合：板书：i) 属于和不属于（不同层次的集合）ii)
4、 包含和不包含BA x(xBxA)BA x(xBxA) $x(xB xA)例：aa，a，aa，a4 空集和幂集（1）空集是任何集合的子集（2）空集是唯一的讲述：问题：3个元素的集合a,b,c有多少个子集。,a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c,8个，23个板书：如果给定集合A的元素个数为n，则其子集共有2n个。集合A的所有子集组成的集合称为集合A的幂集，记为P(A),或者2A 、(A)板书： 幂集： P (A)=x | x A示例：如：P()=，P(a,b,c)=,a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c板书：5全集和补集 U：全集，在具体问题中，所有涉及的集合都是全集的子集，
5、这是一个相对概念。 A：补集，由所有属于U但不属于A的所有元素组成的集合，这是绝对补集，简称补集。BA UAUABA 课外知识讲述：用构造法表示一个集合时，对谓词P(x)没有限制，所以1902年罗素构造如下一个集合：板书： A= x| xx针对这个集合，存在这样一个问题：集合A是否它自己的元素？根据集合的性质，如果A是A的元素，则A应满足AA，即A又不是A的元素；如果如果A不是A的元素，即满足AA，则A又是A的元素。由此得出相互矛盾的结果，这就是著名的罗素悖论。二 集合运算(1) 并集：所有元素构成的集合A B = x | x A x B 示例： A=1, 2, 3, 5, B=1, 4, 6
6、;A B=1, 2, 3, 5, 1, 4, 6=1, 2, 3, 5, 4, 6;板书：求法：所有集合的元素集中到一个集合，然后将重复的元素去掉 板书：(2) 交集：公共元素集合A B = x | x A x B 。求法：一一考察其中一个集合的元素，在其它集合都出现，则是交集的元素板书：(3) 差集A B：是A的但不是B的元素A B = x | x A x B ；(AB) 注意定义中并没有限定BA。求法：一一考察A的元素，在B不出现，则是差集的元素性质：A B = A B = A (A B)A B A板书：(4) 对称差： A、B的非共同元素集合A B = (A - B) (B - A) =
7、 (A B) - (A B)A B A B讲述：文氏图分别为：UBAUBAUBAA B A B A B板书：三 集合定律1) 等幂律：1a) A A = A; 1b) A A = A2) 结合律：2a) (A B) C = A (B C); 2b) (A B) C = A (B C); 2c) (A B) C = A (B C)3) 交换律：3a) A B = B A; 3b) A B = B A; 3c) A B = B A4) 分配律：4a) A (B C) = (A B) (A C) 4b) A (B C) = (A B) (A C) 5) 同一律：5a) A =A; 5b) A U =
8、A; 5c) A - = A; 5d) A = A 6) 零律： 6a) A U = U 6b) A = 7) 排中律：A A = U 8) 矛盾律：A A = 9) 吸收律：9a) A (A B) = A 9b) A (A B) = A 10)德 摩根律 10a) A - (B C) = (A - B) (A - C) 10b) A - (B C) = (A - B) (A - C) 10c) (A B) = A B 10d) (A B) = A B 11) A A = 12) A (B - A) = 13) A (B - A) = B讲述：可利用逻辑理论来证明。利用这些集合定律，可以进行集
9、合的恒等运算，以及在某些证明中实现恒等替换。可以看到许多定律与命题逻辑中等值式模式相对应，实际上两者运算有许多相似之处，由此我们也可以沿用命题逻辑的中许多概念，如香农定理、对偶、展开定律、范式的概念，其中对应的运算符是，板书：证明集合恒等的方法：A 逻辑理论B 集合定律，恒等变换例5.3 已知A B= A C，A B= A C，证明B=C。证明：B= B (A B) = B (A C) = (B A) (B C) = (C A) (B C) = C (A B) = C (A C) = C作业：电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通
10、常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究3.3 集合中元素的计数 教学重点 容斥原理应用，卡氏集及其性质 教学目的1：使学生理解并应用容斥原理于有限集的计数问题。 2：理解卡氏集的含义及其性质。3：进一步熟练运用证明方法。 教学准备 教学方法讲述法 课时安排二课时。 教学过程讲述：前面讨论集合的概念及其运算的概念，这里我们主要讨论集合的一个简单运用，即讨论集合元素个数计数问题。板书有限集合计数容斥原理（包含排斥原理）：设A、B为有限集合，|A|、|B|为其基数，则|AB|A|+|B|-|A
11、B|其中| | 表示集合的基数(元素个数) 例 假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有8人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？解 设英语成绩是优的学生组成的集合是A，数学成绩是优的学生组成的集合是B，因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是AB。由题意可知|A|10 |B|8 |AB|6 由包含排斥原理可得：|AB|A|+|B|-|AB| 10+8-6 = 12所以，两门课都不是优的学生数为：20-|AB|8。复习讲述：本章要点 集合：明确区分的一些对象所构成的一个整体； 元素：集合里含有的对象或客体； 集合表示：枚举法、构造法、递归定义法、特
12、定字母法； 空集：不含任何元素的集合； 元素与集合的关系：属于、不属于； 集合与集合的关系：1)属于、不属于，2)子集关系，3) 相等； BA：B是A的子集，x (xBxA)；空集是任何集合的子集； BA：B是A的真子集，x (xBxA) $x(xAxB； 证明子集常用方法：要证明BA，只需证对任意的x, xBxA； B=A：B、A具有相同元素； 幂集(A)：A的所有子集的集合，x | xA； 补集A：x| xA xU； 并集AB：x | xAxB； 交集AB：x | xAxB； 差集AB：x | xAxB； 对称差集A B：(AB) (BA)(AB) (AB)； 广义并A：x | $B(BAxB； 广义交A：x | B(BAxB； 集合的不交性：两个集合的交集为； 集合恒等式：参见集合定律； 集合等式证明基本方法；要证明BA，只需证对任意的x, xBxA。 集合等式证明其他方法：恒等变换、文氏图法； 容斥原理：card(A B) = card(A) + card(B) - card(AB)；
