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1、債券的基本概念,決定債券價格的基本因素,面值 (Par Value) 殖利率 (Coupon Interest Rate ) 到期日 (Maturity Date) 可贖回條款 (Call Provision) 信用風險 (Credit Risk),債劵價值 (Bond valuation),P: 價格; FV: 面值; c:票面利率 T: 剩餘期; r: 利率； C: 利息給付 (C= c FV) 則債劵價格為未來現金流的現值 ,EAR vs APR,有效年利率 (Effective annual rate, k ) 年百分利率 (Annual percentage rate, r ),Ze
2、ro 的折現、現值及未來值,無利息給付的債券稱為 Zero，其現值(PV)與未來值簡單為:,收益 (yield) = 內部報酬率(internal rate of return) 有效年利率(effective annual rate, EAR),半年複利,債券通常半年複利一次，故 yS :以半年計算的收益,連續複利,若以連續複利計算，則現值為: Yc :連續複利的收益,收益 (Yield) 的種類,現在收益 (Current Yield) 到期收益 (Yield to Maturity) 贖回收益 (Yield to Call ),重要概念:,如果現值及最終值固定，則複利次數增加，所對應的收
3、益率將降低,例題 (1999 FRM Exam Q.17),假定利率8%,半年複利一次,則對應之年利率為何? A. 9.20% B. 8.16% C. 7.45% D. 8.00%,例題 (1998 FRM Exam Q.28),假定利率10%，連續複利，則對應之半年複利之利率為何? A. 10.25% B. 9.88% C. 9.76% D. 10.52%,解題:,若本金為 A0, 連續複利(10%)，一年後得: 對應之半年複利之利率為若r， 一年後得: 兩式相等得:,債券的風險,利率風險 (Interest Rate Risk) 再投資風險 (Reinvestment Risk) 信用風險
4、 (Credit Risk),價格與收益率之關係,多期債券 債劵價格 =未來現金流的現值 C = 殖利率 (coupon rate) FV =票面值 (face value),則到期前，每期現金流為利息收入 到最終期時，現金流為利息收入加上票面值,如果票面利率 = 收益率，則價格等於票面值，稱為 par bond 因為票面利率在債劵發行時已固定，故債劵價格可直接寫成收益率(利率)的函數,永續債劵,永續債劵 (consol, perpetual bond),例題 (1998 FRM Exam Q.12),債劵現價 $102.9，剩一年到期，票面利率 8%，半年給付一次，則該債劵的收益率為何？ A
5、. 8% B. 7% C. 6% D. 5%,解題:,方法一: 代公式 猜題: 現價 $102.9高過 $100，則收益必低于市場利率, 刪去答案() ，低多少？最小低過2.9%，刪去答案(B)與(C) ，剩下答案(D),泰勒展開式 Taylor expansion,原始的價格 收益率改變，導致新價格 新收益率:,如果變動不太大，則可以在原收益率用Taylor expansion展開,注意: 此式在財務金融極為重要，在不同的領域，有不同的含意，例如在選擇權定價，若S為股票價格，則選擇權的價格變動為,債劵價格的微分,存續期 (Dollar duration, DD)為負的利率一階微分，其計算債劵
6、價格對利率變動的敏感度， 存續期愈長， 債劵價格對利率變動愈敏感， 風險愈大,簡單存續期 (Simply, Macauley Duration,D),修正存續期 (modified duration, D*),實務上，風險是以一個基本點的價值(dollar value of a basis point, DVBP, DV01)來衡量,Convexity (C)為二階微分 (二階微分是衡量曲線的曲率),無利息債劵(zero-coupon bond, Zero)的唯一給付為到期時支付票面價值, C = FV，一階微分：,故修正存續期 D*： 傳统存續期 (或稱為 Macaulay duration
7、, D)在 Zero債劵時，D = T 留意： 1. 若連續複利，則 D* = D 2.存續期是以期數T來表達，故若一年複利一次，則存續期以年為單位；若半年複利一次，則存續期必須除以2，轉化為以年為單位,二階微分: 故convexity 等於,價格變动的趨近式,將D* 及 C 代入價格變動的公式，得,例題,市場利率為6%的10年Zero，其現值 Macaulay存續期 : D = 20/2=10 修正存續期:,Convexity: Dollar duration: DV01 = DVBP = DD X 0.0001=0.0538,利率由6%升至7%,價格變動: 若只計入存續期， 新價格 = 5
8、5.368 5.375 = 49.992 若 D 及 C 都計入 新價格 = 55.368 - 5.101 = 50.266,實際新價格 預期誤差: 1.只計入存續期: (49.992 - 50.257)/50.257 = -0.53% 2. D 及 C 都計入 (50.266-50.257)/50.257 = 0.02%,基本概念,DD 衡量價格收益曲綫在始點(原價格)切線的(負)斜率 若 convexity為正，則二階效果 必定為正，且對修正誤差必定有好處,基本概念:,支付利息債劵(coupon-paying bond)的convexity一般皆為正； 不論利率上升抑或下降，較大的conv
9、exity皆有較好的修正效果 如果未來現金流具不確定性(如有抵押的證劵)，則存續期及convexity皆無法直接計算,有效存續期 Effective Duration,定義: 則有效存續期為:,有效convexity,利用 有效convexity為,例題 (1998 FRM Exam Q.17),債劵現價$100, 收益為8%。若收益上升一個基本點(basis point)，則價格跌至$99.95；若收益下降一個基本點，則價格升至$100.04，請問修正存續期為: A. 5.0 B. -5.0 C. 4.5 D. -4.5,解題:,代公式:,例題 (1998 FRM Exam Q.22),年期
10、10年以面值定價的債劵(par bond)其修正存續期為7，convexity 為50。若收益上升 10個基本點，則其價格之變動為: A. -0.705 B. -0.700 C. -0.698 D. -0.690,解題:,代公式:,例題 (2002 FRM Exam Q.118),一剩下18個月的政府公債票面年息6%，半年複利的年收益為4%，下次給付利息的時間剛好為6個月後，則此公債的Macaulay duration接近: A. 1.023年 B. 1.457年 C. 1.500年 D. 2.915年,自習題(1998 FRM Exam Q.29),A、B分別為兩永續債劵，A的票面年利率為4%，B的票面年利率為8%，若兩永續債劵在相同的收益下交易，則兩者存續期的關係為: A. A的存續期大過B的存續期 B. A的存續期小過B的存續期 C. 兩者的存續期相同 D. 以上皆非,自習題(1999 FRM Exam Q.75),若你同時放空兩種皆為20年期的債劵: 債劵A: 面息6.0%、收益6.0%; 債劵B: 面息6.5%、收益6.0% 若利率下降，何者風險較大: A. 債劵A B. 債劵B C. 兩者風險相同 D. 以上皆非,
