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1、物理实验的不确定度表示和计算方法 朱 莉 韩 也 周 晶 张宝林 ( 长春大学 基础科学部, 长春 130022) 收稿日期: 1999-01- 25 第一作者: 女, 1957年生, 副教授 摘 要 本文在分析物理实验中引入不确定度必要性的基 础上, 介绍了不确定度的有关概念, 提出了不确定度的表示 和计算方法。 关键词 物理实验; 不确定度; 置信概率 分类号 TB302. 1 0 引 言 在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪 器对各个物理量进行测量,但如何对测量结果的可 靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的重要 问题。过去的传统方法是用测量误差来评定测量结 果的可靠性, 而测量
2、误差定义为测量值与真值之差, 由于真值是永远也测不到的, 所以测量误差也是一 个不可知量,即用测量误差来评定测量结果的可靠 性是不科学的。 1980 年国际计量局提出了关于实验不确定度 表示的建议书 Recommendation INC-1C19980 1, 1992 年发表了 测量不确定度表示法指南 , 在世界 范围内开展了用不确定度来评价测量结果的推广和 使用。在此基础上, 国际理论与应用物理联合会与 国际标准化组织( ISO) 等 7 个国际组织联合颁发了 国际通用计量学基本术语 ) 之后,对物理教学中 有关误差分析和数据处理方法提出了新的要求。 1991 年我国推出了 国家计量技术规范
3、 JJG1027-91 测量误差及数据处理 , 规定测量结果的最终表示形 式用总不确定度或用其相对值相对不确度表示。至 此, 推广与使用不确定度表示是物理学研究和教学 中的必然趋势, 掌握不确定度的基本概念和简单的 计算方法, 是对理工科物理实验教学的基本要求。 1 不确定度的概念 不确定度概念表示被测量的真值以较大概率存 在于某一个量值范围内的评定, 它反映了可能存在 的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信程度 的高低。不确定度实际上具有非常明确的含义,它 具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲相同,但 通常总是联系于一定的概率。不确定度一般含有多 个分量,但按其数值的评定方法可归并成两
4、类: A 类分量:由测量列的统计分析评定的不确定 度分量,即随机误差分量, 用A表示。 B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量, 即未定系统误差分量, 用B表示。 合成不确定度: 为 A 类分量和B 类分量按方差 合成原理进行合成,用 u 表示可写为 u= 2 A+2B( 1) 总不确定度 ( 展伸不确定度) : 将合成不确定度 u 乘以一个与置信概率有关的包含因子 Kp, 则得总 不确定度, 用 U 表示,U= Kp u。 2 不确定度的表示 2. 1 平均值是测量值的最佳值 一般情况下, 单位误差间隔内出现某误差值的 概率密度函数 f( x) 可表示为 2 f( x) = 1 2?e
5、 - ( Xi- X0)2/ 2?2 - X i ( 2) 式中 ?= ( Xi- X0) 2 n n 称为标准差, 反映一列测量数据的离散程度。 由于lim n 1 n n i= 1 ( Xi- X0) 2= 0 ( 3) 固有X0= lim n 1 n n i= 1 Xi= X - ( 4) 即在系统误差忽略的情况下,测量的平均值等 于真值。但实际测量不可能是无限次,既使是有限 次的测量, 测量值的平均值最接近真值, 即平均值 第 9 卷 第 1 期 1999 年 2 月 长春大学学报 JOURNAL OF CHANGCHUN UNIVERSITY Vol. 9 No. 1 Feb. 19
6、99 是测量值的最佳值。 2. 2 平均偏差和标准偏差 由于物理量的真值 X0是不可知的,不能用上 式计算标准误差,而采用平均值代替真值, 各测量 值与平均值之差 ( vi = X i - X - ) 称残差, 用残差计算 的平均偏差是平均误差的最佳描述,其公式为 测量列平均偏差 ?X= n i= 1 ( Xi- X - ) n ( n- 1) ( 5) 平均值的平均偏差 ?X -= n i= 1 ( Xi- X - ) nn- 1 ( 6) 用残差计算的标准偏差是标准误差的最佳描述, 其 公式为 测量列的标准偏差 SX= n i= 1 ( Xi- X - ) 2 n- 1 ( 7) 平均值的
7、标准偏差 SX -= n i= 1 ( Xi- X - ) 2 n ( n- 1) ( 8) 究竟是采用平均偏差还是标准偏差来估算误差更为合 适, 主要根据国家计量规范的要求和数值计算的方便性, 计算结果在表征测量列离散程度的有效性、精密性等综 合考虑, 结果表明,用标准偏差估算误差更为合适。 2. 3 A 类不确定度 A 类不确定度为随机误差分量,是由随机变量 的概率分布决定。当随机变量呈离散型时, 其概率 分布是多种多样的, 最主要的有二项分布、多项分 布、泊松分布、均匀分布、x 2 分布、F 分布、正态 分布和 t 分布, 每种分布都有自己的概率密度函数, 彼此相差很大。但当随机变量呈连
8、续型时, 即测量 次数趋于无穷, 则这些分布都趋向于正态分布 ( 高 斯分布) , 所以我们可以认为大量的测量误差接近正 态分布。 由于正态分布理论完善, 计算公式简便, 在 多种分布规律中最具典型性, 是误差理论中运用最 多的具体分布规律, 所以我们可以采用正态分布加 修正的方法来表示 A 类不确定度。 对于正态分布的分布函数 F ( x) 有 2 F ( x) = 1 2? + - e - 1 2( x- ? ? )2 dx( 9) 式中 ?为 x 的期待值 ( 实数) , ? 为标准差 ( 大于 0 的实数) , x 为随机变量分布区间, 如对 ( 9) 式在区 间 ?- ?, ?+ ?
9、积分,则有 3 P = ?+ ? ?- ? F ( x ) = ?+ ? ?- ? 1 2? ?exp - 1 2 x - ? ? 2 dx = 0. 683( 10) 如对 ( 9) 式在区间 ?-2?,?+ 2?积分,则有 P = ?+ ? ?- ?F ( x) = ?+ ? ?- ? 1 2? ?exp - 1 2 x - ? ? 2 dx = 0. 955( 11) 对 ( 9) 式在区间 ?- 3?,?+ 3?积分,得 P = ?+ 3? ?- 3?F ( x) = ?+ 3? ?- 3? 1 2? ?exp - 1 2 x - ? ? 2 dx = 0. 997( 12) ( 10
10、) 、( 11) 和 ( 12) 式分别表示, 当一组测量值的 标准偏差为 ?时, 则这一组测量值中任一次测量值 Xi的偏差 Vi落在 ? 的区间的可能性为 68. 3% , 落在 ?2? 区间的可能性是 95. 5% , 落在 ? 区 间的可能性是 99. 7%, 这三个百分数就是我们常用 的三个置信概率。 对于物理实验中的有限次测量, 一般为 510 次, 这时测量结果偏离正态分布, 而服从 t 分布。 A 类不确定度可由贝塞尔公式求出 Sx= ? ( xi- x -)2 n- 1 考虑到在一组等精度测量值中, 算术平均值比任何 一次测量值的可靠性都高, 为测量值的最佳值,由 误差理论可知
11、, 算术平均值的偏差 Sx -与一组测量值 的标准偏差Sx有如下关系: Sx -= Sx n = ? ( xi- x -)2 n ( n- 1) ( 13) 再考虑到 t 分布当 n时的极限是正态分布而采 取的适当修正,即 ?A= tpSx -= tp n Sx( 14) 式中 tp为置信因子,与置信概率有关。 为了与世界上大多数工业化国家所广泛采用的 约定概率一致,我国国家计量规范亦取约定概率 p = 0. 95,则可取 tp/n 1 ( 见下表) ,即有 1 ?A= Sx ( p= 0. 95) 表 p= 0. 95时的因子 (tp/n ) 测量次数n456789101520 tp/n 1
12、. 591. 241. 050. 930. 840. 770. 720. 550. 471. 96/ n 近似值1. 6 1. 2 6n10 时, 可取tp/n 1 n10 时, tp/n = 2/n 第 1期 朱 莉等: 物理实验的不确定度表示和计算方法 35 2. 4 B 类不确定度 B 类不确定度为未定系统误差分量, 不能够用 统计方法评定, 一般可根据经验和其它信息进行估 计, 在物理实验中, 只考虑由仪器误差所带来的 B 类分量。如 B 类分量的误差限为 ?, 则 B 类不确定 度由下式得出 ?B = K p ? C ( 15) 式中 Kp为与置信概率有关的置信因子,C 为置信 系数
13、。 Kp在 p = 0. 95 置信概率时,通常取 Kp= 1. 952 对于C 值的选取, 如仪器误差服从均匀分布, C 值取3 ; 如仪器误差服从正态分布, C 值取 3, 物 理实验教学中仪器误差分布一般不知道,C 可取 3 ,这时 ?B= 2?/3 ? ( p= 0. 95) 2. 5 总不确定度 ( 展伸不确定度) 将 A 类不确定度分量和 B 类不确定分量在高 置信概率 p = 0. 95 条件下进行方和根合成, 即得总 不确定度 U= ? 2 A+ ?2B=S 2 x+ ?2 对于受多个误差来源影响的直接测量量,其测 量结果的总不确定度,用下式表示: Ux= n i = 1S 2
14、 i+ m i = 1? 2 i 测量结果的表达式为 X= X - Ux 3 间接测量结果的不确定度计算方法 在间接测量中, 测量量 y 是直接测量量 x 的函 数。即y= f ( x ) , 首先仍是求出间接测量量 y 的最 佳值算术平均值 y -= f ( x-) 而测量结果的不确定度为 Uy= d dxU x, 其中 Ux=S 2 x+ ? 2 当y= f ( x1, x2, xn) 时, 测量结果的总不 确定度为 Uy= ?U ?x1U x1 2 + ?U ?x2U 2 x2+ + ?U ?xnU 2 xn 其中 Ux1=S 2 x1+ ? 2 1, Ux2=S 2 x2+ ? 2 2
15、, 其结果表达式为 y= y -Uy 4 结 论 引入不确定度表示是物理实验教学内容改革的 重要方面, 不确定度概念和体系的发展也是计量科 学的一个重要进展,是测量结果评定和表示国际标 准化和规范化的重要体现。 不确定度的概念和体系是在现代误差理论发展 的基础上建立和完善的。不确定度和误差是两个不 同的概念, 又都是由于测量过程的不完善性引起的。 不确定度是对测量结果可信度的合理的、科学的评 定。习惯上仍用误差来定性地描述理论和概念,当 要评定测量结果的精确度和计量器具的精度时,就 应当采用不确定度来描述。 参考文献 1 朱鹤年. 物理实验研究. 北京: 清华大学出版社, 1990. 1243
16、 2 朱永生. 实验物理中的概率和统计. 北京: 科学出版社, 1991. 109 3 李惕碚. 实验的数学处理. 北京: 科学出版社, 1980. 39 Expression and Calculation of uncertainty in physical experiments Zhu Li H an Ye Zhou Jing Zhang Baolin Faculty of Basic science Studies, Chang chun University,Changchun 130022 Abstract T his paper explains the fact that it is necessary to introduce uncertainty in physical experiments, presents the rele- vant concepts of unc
