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1、第四节 柯西（Cauchy)点列和完备度量空间,教学目标： 1、掌握柯西点列及完备度量空间的定义； 2、会利用定义证明几类典型空间的完备性，培养知识 迁移能力； 3、掌握并不是所有度量空间都完备，并会证明空间的 不完备性,教学重点：完备度量空间的定义，定理1. 教学难点：定理1的应用，空间完备性的证明,1 基本概念,2 完备度量空间的例子,3 子空间完备性定理,4 不完备度量空间的例子,存在正整数 当 时有 则称是中的柯西点列.类似地可以定义度量空间中的柯西点列.,是,中的点列，如果对任意给定的整数,定义1 设 是度量空间， 是 中的点列,如果对任何事先给定的整数 存在正整数 是当 时，必有
2、则称 是 中的柯西点列或基本点列.如果度量空间 中每个柯西点列都在 中收敛，那么称 是完备的度量空间. 注意：这里要求在 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点. 由度量空间的定义，立即可知有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但 维欧氏空间 则是完备的度量空间.在一般的度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列.实际上，如果 那么对任何正数 存在 使当 时，有 因此，当 时，由三点不等式，得到 即 是柯西点列.,中柯西点列的定义.设,首先回忆一下,例1 是完备度量空间. 证明 设 是 中的柯西点列，其中 于是对于任意 存在正整数 当 时， (1) 因此，对每一
3、个固定的 当 时，成立 (2) 这就是说，数列 是柯西点列，因此，存在数 使得 令 下面证明 且 在(2)式中,令 我们得到，对一切 成立 (3) 又因 因此存在实数 使得对所有 成立 因此， 这就证明了 由(3)式，可知对一切 成立 所以 因此 是完备度量空间.证毕.,令 表示所有收敛的实（或复）数列全体，对 中任意两点 令 易证 是一度量空间，实际上它是 的一个子空间. 定理1 完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. 证明 设M是完备子空间，对每个 存在M中的点列 ,使 由前述， 是M中柯西点列，所以在M中收敛，由极限的唯一性可知 ,即 所以 因此M是闭子空间
4、. 反之，如果 是M中柯西点列，因X是完备度量空间，所以存在 使 由于M是X中闭子空间，所以 ,即 在M中收敛.这就证明了M是完备度量空间.证毕. 例2 是完备的度量空间. 证明 有定理1，只要证 是 中的闭子空间即可.对任何 存在 因此对任何正数 存在正整数 当 时，对所有自然数 成立 特别取 那么对所有 有 但因 即 当 时收敛，因此存在 使对当 时，有 于是当 时，成立 这说明 是柯西数列，因而收敛，即 所以 是 中的闭 子空间.证毕.,例3 是完备的度量空间. 设 是 中的柯西点列.于是对任何正数 存在正整数 使对一切 有 (4) 因此对任何 有 这说明当 固定时， 是柯西数列，所以存在 使 下面证明 是 上连续函数，且 事实上，在（4）中令 那么可以得到当 时，成立 (5) 这说明 在 上一致收敛于 ，由数学分析知， 是 上连续函数，因此 且由（5）知，当 时， 即 这说明了 是完备度量空间.证毕. 下面举一个不完备空间的例子. 例4 设 表示闭空间 上连续函数全体，对任何 令 那么 成为度量空间. 上面定义的度量空间 不完备. 证明 令,那么， 是 中的柯西点列.事实上，对任何正数 当 时, 但对每一个 如果 必有 但由于 在 上连续，所以 在 上恒为0，在 上恒为1，所以 这与 在 连续矛盾，因此 不完备. 证毕.,
