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1、凸集的分离性凸集的分离性 直观解释：直观解释： 平面上两个不交凸集可用一条直线分开；平面上两个不交凸集可用一条直线分开； 空间两个不交凸集可用一个平面分开空间两个不交凸集可用一个平面分开 超平面超平面 设设 f 是线性空间是线性空间 X 上的非零线性泛函，上的非零线性泛函，c 为为 常数，称线性流形常数，称线性流形 Hfc = x：f(x) = c 为为 X 的的 一个超平面。一个超平面。 例：例： X 为为 Hilbert 空间，空间，f?X*，则由，则由 Riesz 定理，存在定理，存在 yf?X，s.t. f(x) = (x，yf)，? x?X。 此时，此时，Hf c 经过经过 cyf
2、/| yf |2 并且与并且与 yf 垂直垂直。 超平面的性质超平面的性质 性质性质1、Hf c = x0 + Hf0，其中，其中 f(x0) = c。 即将线性子空间即将线性子空间 Hf0 平移到经过平移到经过 x0 的位置。的位置。 证明：直接验证即可。证明：直接验证即可。 注：与线性代数中线性方程组理论比较，注：与线性代数中线性方程组理论比较， 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解 = 特解特解 + 对应齐次线性方程组的通解对应齐次线性方程组的通解 超平面的性质超平面的性质 性质性质2、设、设 x0XHf0，则，则 X = spanx0?Hf0 ? X 的线性子空间的线性子空间
3、Hf0 比比 X “少”一维。“少”一维。 即即 Hf0 的余维数的余维数 codim Hf0 = 1 余维数：余维数：Y、Z闭，闭，X = Y?Z，则，则 codim Y = dim Z = dim X/Y 超平面的性质超平面的性质 性质性质2、设、设 x0XHf0，则，则 X = spanx0?Hf0 证明：显然证明：显然 spanx0Hf0 = 0，从而是直和。，从而是直和。 下证下证 ? y?X，必有，必有 y = x+x0，其中，其中，x?Hf0， ?K。令。令 = f(y)/f(x0)，x = y - x0，则，则 f(x) = f(y) - f(x0) = 0， 即即 x?Hf0
4、 超平面的性质超平面的性质 性质性质3、M 为为 X 的真子空间，的真子空间，x0?XM，s.t. X = spanx0?M 。 (*) 则存在则存在 X 上的线性泛函上的线性泛函 f，满足，满足 f(x0) 0， f(M) = 0。 ? 其中其中 x0 可以是可以是 XM中的任意元；中的任意元； ? 由由(*)，比，比M更大的子空间只有更大的子空间只有 X 本身，本身， 因此称因此称 M 为为极大子空间极大子空间。 超平面的性质超平面的性质 证明证明：对任意对任意 y?X，由，由 (*) 可知可知 ?! x?M， ?K，使得，使得 y = x + x0。令令 f(y) = c 其中其中 c
5、? 0 为常数为常数。则。则 f 满足满足 f(x0) = c 0， f(M) = 0。 超平面的性质超平面的性质 推论推论1、M 为超平面为超平面 ? M 为极大子空间。为极大子空间。 推论推论2、若、若 X 为为 B*空间，则空间，则 f?X* ? M 闭闭 证明：由证明：由 f 定义知定义知 N( f ) = x | f(x) = 0 = M 若若 f 连续，则连续，则 ? x?cl N( f )，有，有 f(x) = 0。 因此，因此， cl N( f ) = N( f )，即，即 M 闭。闭。 超平面的性质超平面的性质 推论推论1、M 为超平面为超平面 ? M 为极大子空间。为极大子
6、空间。 推论推论2、若、若 X 为为 B*空间，则空间，则 f?X* ? M 闭闭 证明：由证明：由 f 定义知定义知 N( f ) = x | f(x) = 0 = M 反之，若反之，若 f 无界，则无界，则 ? xn ?XM，满足满足 | xn |=1，f(xn) = n。 于是，于是， f(xn/n x1) = 0，即，即 xn/n x1?M 但但 xn/n x1? x1?M。因此，。因此，M 不闭。不闭。 凸集的分离凸集的分离 称超平面称超平面 Hfc分离集合分离集合 E 和和 F： f(x) c ( c)， ? x?E； f(x) c ( c)， ? x?F。 ? 当上式中取“当上式
7、中取“”时称严格分离；”时称严格分离； ? 不考虑超平面的具体位置时上式即不考虑超平面的具体位置时上式即 sup f(x) (0：x/?E。 ? p(x0) 1 (“=”成立”成立? x0 = x1)。 ? 在在 E 的内部，的内部，p(x) 1。 ? 要使得要使得 f(x0) c，f(x) c，先令，先令 p 满足。满足。 凸集与点的分离凸集与点的分离 接下来构造接下来构造 spanx0 上有界线性泛函上有界线性泛函，令令 f0(x0) = p(x0) ， ? ?R。 则则 f0(x0) = p(x0)， ? ? 0， f0(x0) 0，B(x0，r)?E，任取，任取 y?F， 则则 B(x
8、0-y，r)?G，即，即 x0-y 为为 G 的的内点。内点。 凸集之间的分离凸集之间的分离 推论推论6：设：设 X 为实为实 B* 空间，空间，E、F 为为 X 的两的两 个凸子集，且个凸子集，且 EF=，E 的内点非空。则存的内点非空。则存 在在 f?X*，c?R，使得，使得 Hfc 分离分离 E、F。 分析与证明：分析与证明：于是，于是，? f?X*，d ? 0，Hfd 分分 离离 0、G，即，即 0 ? d ? f(x - y)，? x?E，y?F 从而从而 f(y) ? f(x)，? x?E，y?F。 取取 c?sup f(y)，inf f(x)，则，则 Hfc 分离分离 E、F。
9、y?F， x?E 凸集之间的分离凸集之间的分离 ? 推论推论6 中中 EF= 可减弱为可减弱为 E、F内部不交。内部不交。 推论推论7：设：设 X 为实为实 B* 空间，空间，E、F 为为 X 的凸的凸 子集，且子集，且 cl Ecl F=，E的内点非空。则的内点非空。则 ? f?X*，c?R，使得，使得 Hfc 严格分离严格分离 E、F。 推论推论8：设：设 X 为实为实 B*空间，空间，E、F 为为 X的凸子的凸子 集，且集，且E、F内部不交，内部不交，cl Ecl F，E 内点内点 非空。则非空。则 E、F 存在公共承托超平面存在公共承托超平面 Hfc Ascoli 定理定理 推论推论9
10、：设：设 X 为实为实 B* 空间，空间，E?X为凸子集，为凸子集， x0?Xcl E。则。则? f?X*，c?R，使得，使得 f(x) c f(x0)， ? x?E。 分析与证明：此处没有内点条件，应该设法分析与证明：此处没有内点条件，应该设法 创造内点条件。令创造内点条件。令 F = B(x0，)，其中，其中 充分充分 小，使得小，使得 cl Ecl F=。则。则 F 为凸集，并含内为凸集，并含内 点点x0。再由推论。再由推论 7 即得。即得。 Mazur 定理定理 推论推论10：设：设 X 为实为实 B* 空间，空间，E?X 凸，内点凸，内点 非空。又设非空。又设 F?X 为线性流形，为线性流形，FE，则，则 ? f?X*，c?R，使得，使得 F?Hfc，f(x) c，? x?E 分析与证明：令分析与证明：令 F = x0+X0，其中，其中，X0 为为 X 的线性子空间，则的线性子空间，则 ? f?X*，d?R，使得，使得 f(x) d f(y)， ? x?E，y?F。 令令 c = f(x0)，由，由 X0为线性子空间知为线性子空间知 f(F) = c 例：例：Gordon 定理定理. 设设 A 是是mn矩阵。矩阵。 则以下二系统恰有一个有解。则以下二系统恰有一个有解。 ? Ax0； ? ATp=0， p0，p0。
