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1、推进学校内涵建设深化年各项工作和“三乐两校”主题教育活动的开展，进一步繁荣校园文化，搭建具有时代特征大学生特点的文化艺术活动平台，促进学院间师生的友谊17板材玻璃下料问题摘要排样下料问题在很多工业领域中都有广泛的应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率。本文解决的是玻璃板材的最优化下料策略，不同的下料策略形成不同的线性规划模型。在充分理解题意的基础上，以使用原材料张数最少为目标，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。在第一题中，首先选用单一下料两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用单一下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排
2、料优选，算出所需原材料的块数和利用率；最后按照零件需求量，进行几种零件配套优选，用新易优化板材切割软件求出最优的板材切割方法，列以原材料消耗总张数最少为目标函数的数学模型，用LINGO软件编程，求出最佳下料方案。按照原材料的利用率，筛选出最佳的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案，所求需要原材料的块数为544，利用率为95.72%。第二题的求解以第一题相似，当有两种规格的原材料时，在第一题的基础上，用玻璃板材切割软件排出两种原材料的最佳切割方法，建立数学模型，用LINGO软件编程，算出最佳的下料方案。求得需要规格为2100cm1650cm的原材料530块，需要规格为2000
3、cm1500cm的原材料19块，共计549块，利用率为95.29%。此模型可以推广到更多板材排样下料领域的应用，通过逐级优化和组合原理，确定各种切割方式，然后再进行线性规格问题的求解。关键词：优化排样 板材下料 最优化 线性规划 一问题重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。在作材料预算时，需要求出原材料的张数。已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。切割次序和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。工程实际需要解决如下问题，在给定一组材料规格尺寸后：（1）
4、在原材料只有一种规格的情况下（例如长为2100cm,宽1650cm），给出最优下料策略，时所需要材料张数最少。（2）在原材料为两种规格的情况下（例如2100cm1650cm和2000cm1500cm），给出最优下料策略，使所需要材料张数最少，且利用率（实际使用总面积与原材料总面积之比）尽量高。（3）下表是一些成品料及所需块数（长宽块数），分别以一种原材料2100cm1650cm及两种原材料规格2100cm1650cm、2000cm1500cm为例，分别给出(1)和（2）的算法及数字结果，并给出两种情况下的利用率。表1：成品料规格及所需块数序号长宽块数序号长宽块数1865857982857715
5、983804746196485767528585766528680466322478046613088804639849804631561080456322411804536196128045353921380455139214865446981576244619616715446981768044622418675446281966744628206554468421647446562266742630823580446224245524461962555144639226527426392二模型假设1、 假设不考虑在切割板材玻璃的过程中的损耗；2、 假设不考虑人为的损耗；3、 假设不考虑切
6、割工艺的不同；4、 假设不考虑玻璃厚度的影响；5、 假设不考虑刀片的厚度；6、 假设切割玻璃的刀片可旋转；7、 假设不考虑两种原材料的优先级及成本，只考虑原材料的利用率；三符号说明符号表示意义规格为2100cm1650cm的原材料的长规格为2100cm1650cm的原材料的宽规格为2000cm1500cm的原材料的长规格为2000cm1500cm的原材料的宽成品零件的长，i=1，2，26成品零件的宽，i=1，2，26所需成品料的块数，i=1，2，26所需原材料的块数规格为2100cm1650cm的原材料的面积规格为2000cm1500cm的原材料的面积第i个成品料的在方向上能被排下的个数第i个
7、成品料的在方向上能被排下的个数第i个成品料的在方向上能被排下的个数第i个成品料的在方向上能被排下的个数只有一种原材料的利用率有两种原材料的利用率第i个成品料的面积组成切割矩阵的各个数值第j种切割方式下在L方向套裁切割被排下的个数第j种切割方式下在L方向套裁切割被排下的个数第j种切割方式下长度方向的余料第j种切割方式下余料面积第j种切割方式使用的次数x第n种切割方法有两种规格原材料是，所需规格为2100cm1650cm原材料的块数有两种规格原材料是，所需规格为2000cm1500cm原材料的块数四问题分析板材玻璃下料问题属于线性规划中的二维下料（板材下料），玻璃最优化切割中，原材料有两个方向（长
8、和宽），在只有一种原材料的时候，令原材料的长为L，宽为W，零件的长为,宽为，i=1，2,，26。从操作方便的角度考虑，一张板材上不宜下过多的零件，但一般来说，参加套裁的零件种类越多，材料的利用率越高，在实际玻璃切割中要兼顾这两方面的情况，既要考虑操作的方便，又要考虑材料的利用率，一般我们讨论零件种数最多为3种或4种的情况。而且由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二，是一种典型的Guillotine切割，国内外对Guillotine下料问题的研究非常活跃，已取得了不少的研究结论。对剪切下料一般的处理方法有：使用背包算法以保证能实现一刀切的
9、剪切工艺；在一张板材上只排一种规格的零件的单一下料法或只排少数几种的综合套裁法。考虑到本题的实际情况，我们使用第二种方法。当然，在保证利用率不减的情况下，所下的零件数越少越好。既然原材料有长和宽两个方向，零件也有长和宽两个方向，则每个零件的长可在原材料的长和宽方向上排列，宽也可在原材料的长和宽的方向上排列，这就够成了二维下料方式的多样性，当所需下料的零件种类较多时，下料方式也就相应的比较多，这又为二维下料增加了困难，为了克服这个困难，并考虑到采取组成最优化方案的切割方式的材料利用率都不应太低，因此采取逐级优化的方法，进行优化切割方案的筛选。对于第一题中有一种原材料的时候，有以下三种切割方案：（
10、1） 单一下料两个方向排料优选；（2） 单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选；（3） 按照零件需求量，进行几种成品料配套优选，选出最佳下料方案。对于第二题中有两种原材料的时候，在只考虑原材料利用率的情况下，我们选用与第一题中只有一种原材料时的第三种切割方案，即按照零件需求量，进行几种零件配套优选，选出最佳下料方案。最后，根据所求的（1）题和（2）题中原材料的数量，算出每种切割方案的利用率，选出最佳切割方案。五模型的建立与求解下料问题模型主要有密切相关的两部分组成。第一部分为初始切割方式下的优化选取模型，第二部分为下料方案的优化模型。其中，后者是一种大型线性规划模型。5.1 问题一模型的建立与求
11、解5.1.1单一下料两个方向排料优选对于一张原材料上仅裁一种零件（即单一下料）的切割方式，每一种零件可以排出两种单一切割方式。第一种，成品料的长在原材料长的方向上排列的下料方式；第二种，成品料的长在原材料宽的方向上排列的下料方式。（1）、单一下料两个方向排料优选数学模型如下:，i=1，2，26；，i=1，2，26；，i=1，2，26；，i=1，2，26；如第一种零件在方向上能排=2，在方向上仅能排1次，因此能切下第一种零件的总数是21=2（个），如图5.1。1730370865865图5.1另一方面，在方向上排1次，在方向上能排2次，所以整块玻璃能容纳下第一种零件的总数是12=2（个），如图5
12、.2。1714386857857图5.2两个方向切割的零件数相等，可任选一种切割方式。若切割第二个零件，情况就有所不同了，在方向能排2次，在方向上也能排2次，因此能切下第二种零件的总数是22=4（个），如图5.3。857715图5.3另一方面，在方向能排1次，在方向上也能排2次，因此能切下第二种零件的总数是12=2（个），如图5.4。715857图5.4综上可以看出，图5.3的切割方式比图5.4的切割方式的利用率要高，所以单一下料也存在比较优选的问题，称作单一下料的初级优化。即MAX L1xi*W1yi,L1yi*W1xi,利用C语言编码(附录1)得到如下的数据：长宽面积成品料所需块数每块原料
13、切割个数所需原材料块数成品的面积186585798249285771598425380474619644948576752847585766728476804663224638780466130865288046398461498046315661010804563224638118045361966331280453539266613804551392666148654469861715762446196825167154469881317680446224925186754462894196674462894206554468491021647446569722667426308935235804462249252455244619692225551446392944265274263921233总计4648718表5.5通过上述
