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1、第三节 晶向、晶面和它们的标志,本节主要内容:,1.3.1 晶向及晶向指数,1.3.2 晶面及密勒指数,1.3 晶向、晶面和它们的标志,1.3.1 晶向及晶向指数,1.晶向,通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。,过一格点可以有无数晶列。,(3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；,(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。,(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；,(2)晶列上格点分布是周期性的；,晶列的特点,2.晶向指数,如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为,为固体物理学原胞基矢,如遇到负数，将该数
2、的上面加一横线。,其中 为整数，将 化为互质的整数 ， 记为 ， 即为该晶列的晶列指数。,(2)以布拉维原胞基矢表示,如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为,其中 为有理数,将 化为互质的整数 m,n,p, 记为mnp，mnp即为该晶列的晶列指数.,例1：如图在立方体中， D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。,解：,晶列BE的晶列指数为：,011,AD的晶列指数为:,求AD的晶列指数。,注意:,(1)晶列指数一定是一组互质的整数； (2)晶列指数用方括号表示 ； (3)遇到负数在该数上方加一横线。,(4)等效晶向。,在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的对称性，
3、这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成。,1.3.2 晶面及密勒指数,在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。,1.晶面,(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；,(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；,(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。,(2)晶面上格点分布具有周期性；,同一个格子，两组不同的晶面族,2.晶面指数,晶面方位,晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角),晶面在三个坐标轴上的截距,(1)以固体物理学原胞基矢表示,如图取一格点为顶点，原胞的三个基矢
4、为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N，ON长度为d，d为该晶面族相邻晶面间的距离，为整数，该晶面法线方向的单位矢量用 表示，则晶面A1A2A3的方程为：,取 为天然长度单位，则得：,晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。,可以证明：r,s,t必是一组有理数-阿羽依的有理数定理。,(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。,(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点也一定落在
5、该晶面族的晶面上；,取 为天然长度单位得：,又,晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。,可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的面指数，记为(h1h2h3 ) 。,任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。,因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。,综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；,(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。,(2)以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；,(1)基矢 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；, 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距, 整数, 晶面间距,的倒数是
6、晶面族中最靠近原点的晶面的截距, 同族中其它晶面的截距是 的整数倍,以布拉维原胞基矢 为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。,立方晶格的几种主要晶面标记,例2：如图所示 ，I和H分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指数。,AEG ABCD DIHG,1,1,1,1,2,1,在三个坐标轴上的截距,1:1:1,(hkl),(111),(001),(120),AEG 的密勒指数是(111)；,OEFG的密勒指数是(001)；,DIHG的密勒指数是(120)。,例3: 在立方晶系中画出(210)、 晶面。,晶面在三个坐标轴上的截距分别为：,1,(
7、210),1,1,密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；,1.4 倒格子, 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性,势能函数,势能函数是以,为周期的三维周期函数,1.4.1倒格与傅里叶变换,在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。,上式两边分别按傅里叶级数展开：,是正格矢。,一定是倒格矢。,1.4 倒格,倒格,正格（点位）矢：,倒格基矢,倒格（点位）矢：,晶体结构=晶格+基元,正格基矢,正格,一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。,1.4.1 倒格定义,倒格基矢定义为：,其中 是正格基矢，,是固体物理学原胞体积,倒格基矢的方向和长度如何呢？,一个倒格基矢是和正格原胞中一组
8、晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。,1.4.2 倒格与正格的关系,其中 分别为正格点位矢和倒格点位矢。,4.倒格矢 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其长度为 。,设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，,ABC在基矢 上的 截距分别为 。,由图可知：,(2)证明 的长度等于 。,由平面方程： 得：,在晶胞坐标系 中，,晶体结构,1.,1.,2.与晶体中原子位置 相对应；,2.与晶体中一族晶面相对应；,3.是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性排列；,3.是真实空间中点的周期性排列；,4.线度量纲为长度,4.线度量纲为长度-1,已知晶体结构如何求其倒格呢？,晶体结构,正格,正格基矢,倒格基矢,倒格,例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。,倒格是边长为 的正方形格子。,例2：证明体心立方的倒格是面心立方。,倒格矢：,同理得：,体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。,例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为,证明：,简立方：,法一：,
