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1、第1页,第五章 系统的稳定性,系统能在实际中应用的首要条件是系统要稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分。经典控制理论对于判定一个定常线性系统是否稳定提供了多种方法。本章着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据(Routh稳定判据、Nyquist稳定判据、 Bode稳定判据)及其使用，以及提高系统稳定性的方法。,第2页,本章将首先介绍线性系统稳定性的初步概念；接着，介绍Routh判据；然后，重点阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频率特性GK(jw)的Nyquist图来判定相应的闭环系统的稳定性；最后在此Nyquist稳定判据的基础上，介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性
2、的问题。在本章中，应特别注意各种稳定性之间的本质联系。,第3页,一、系统不稳定现象的发生,如图所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为ps的压力油，经伺服阀和两条软管以流量q1 ，q2进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移xi后，活塞输出位移xo ，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系B反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样这组成了一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。,5.1 系统稳定性的初步概念,第4页,当阀芯受外力右移，即输入位移xi后，控制口2、4打开，控制口3、1关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，使得活塞也向右移动。当外力去掉后，阀芯停止运动。此时
3、由于活塞滞后于阀芯的位移而继续右移，直到控制口2关闭，即回到原来的平衡位置。但因移动的活塞有惯性，在伺服阀回到原来 的平衡位置后，活塞仍不能停止，继续带动阀体右移。因而使控制口1、3打开，2、4关闭，压力油反过来进行右缸，左缸接通回油，这使活塞反向（向左）移动，并带动阀体左移，直到阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。但活塞因惯性继续左移，使油路反向这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当,第5页,系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，如图所示的三种情况。当这种自由振荡是增幅振荡时，
4、就称系统是不稳定的。,第6页,了解上述不稳定现象发生的原因，对于建立系统的数学模型和建立稳定性概念是很有帮助的。因为从上例可知，系统的不稳定现象有如下值得注意之点。,首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。如上例 ，系统是在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的，故线性系统稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关。(非线性系统的稳定性是输入有关的。),第7页,其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。例如，下图所示的单位反馈系统，如原系统G(s)是为产生不稳定现象的，那么加入反馈后就形成为闭环系统。当输入Xi(s)撤
5、消后，此闭环系统就以初始偏差E(s)作为进一步运动的信号，产生输出Xo(s)。而反馈联系不断将输出Xo(s)反馈回来。从输入Xi(s)中不断减去或加上Xo(s) 。若反馈的结果，削弱了E(s)的作用即负反馈，则使Xo(s)越来越小，系统最终趋于稳定，若反馈的结果，加强了E(s)的作用即正反馈，则使Xo(s)越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视Xo(s)是收敛还是发散而定。,第8页,第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；当然，根据第3.7节的分析，也可以说，是讨论系统初
6、始状态为零时，系统脉响应是收敛的还是发散的。至于对机械工程系统，往往用激振或加外力的方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。,第9页,二、稳定的定义和条件,若系统在初始状态(不论是无输入时的初态)， 还是输入引起的初态 ， 还是这两者之和，此处，n仍为系统阶数的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(即回到平衡位置)，则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散(即偏离平衡位置越来越远)，则称该系统不稳定的。,第10页,根据上述稳定性的定义，可以用下述
7、两种方法，分别求得定常线性系统的稳定性条件。,方法(1),设定常线性系统的微分方程为,若记,第11页,式中 为系统的传递函数。,N(s)是与初始条件xo(k)(0-)(其中k=0,1,2,n-1)有关的s多项式，而xo(k)(0-)是输出xo(t)及其各阶导数xo(k)(t)在输入作用前t=0时刻的值，即系统在输入作用前的初始状态。研究此初始状态影响下系统的时间响应时，可在式中取Xi(s)=0，得到在初始状态影响下系统的这一时间响应(即零输入响应)。,第12页,若si为系统特征方程D(s)=0的根(或称系统的特征根，亦即系统的传递函数的极点， i=1,2,n； si可以为复数)，且当si各不相
8、同时，有,式中,第13页,由上可知，若系统所有特征根si的实部均为负值，即Resi0，则零输入响应最终将衰减到零，即 这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随时间的推移而发散，即 这样的系统就是不稳定的。,上述的结论对于任何初始状态只要不使系统超出其线性工作范围都是成立的而且当系统的特征根具有相同值时，也是成立的。,第14页,由上可见，式右端各基系数，对系统稳定性没有影响，这相当于系统传递函数的各零点对稳定性没有影响。因为这些参数反映了系统与外界作用的关系，反映了外界输入作用于同一系统的不同处的特性，而不影响系统稳定性这个系统本身的固有特性。,第15页,若
9、对线性系统在初始状态 为零时输入单位脉冲函数d(t)(这实际上也是一些书籍中所讲的瞬间干扰)，正如第三章所指出这等于使系统具有了一个初态。再由此初态出发，可得到一个输出，即单位脉冲响应w(t) 。 w(t)的形式与零输入响应的形式相同。显然，若 则系统稳定；若 ，则系统不稳定。正如第三章所指出，因为,方法(2),第16页,因此系统的单位脉冲响应,这一结论与第三章有关结论是一致的，可见只有当系统的全部特征根si (i=1,2,n)都具有负实部时，才有,第17页,此处建议读者根据第节与第节进一步理解如下论述：如果所指的系统初态是包括无输入时的初态与输入所引起的初态，或只是输入所引起的初态，则系统是
10、否稳定应由此时的过渡过程随着时间的推移是否收敛至一个稳态响应来决定，而这是与本小节开始时讲的系统的稳定性的定义是一致的；此时过渡过程是否收敛也仅仅取决于系统的全部特征根是否都具有负实部。从这点出发，记者还可以考虑，有无可能对系统施加合适的输入进而判明系统的稳定性。,第18页,综上所述，可以证明，不论系统的特征根是否相同，系统稳定的充要条件为：系统的全部特征根都具有负实部；反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。,也就是说，若系统传递函数G(s)的全部极位于s平面的左半平面，则系统不稳定；反之，若有一个或一个以上的极点位于s平面的右半平面，则系统不稳定；若有部分极点位于战
11、轴上，百其余的极点均在s平面的左半平面，则系统称为临界稳定，即xo(t)或w(t)趋于等幅谐波振荡。,第19页,由于对系统参数的估算或测量可能不够准确，而且系统在实际运行过程中，参数值也可能有变动，因此原来处于虚轴上的极点实际上可能变动到s平面的右半平面，致使系统不稳定。从工程控制的实际情况看，一般认为临界稳定实际上往往属于不稳定。,应当指出，上述不稳定区虽然包括虚轴jw，但并不包括虚轴所通过的坐标原点，因为在这一点上，相当于特征方程之根si=0，系统仍属稳定。(si=0表明第i个环节为积分环节。),比较式可知，上述两种方法从不同的角度出发得到了同一结论；定常线性系统是否稳定完全取决于系统的特
12、征根si ，而初态只是决定esit的系数而已。,第20页,1、李亚普诺夫意义下的稳定性,由上分析可知，对于定常线性系统而言，系统由一定初态引起的响应随着时间的推移只有三种情况：衰减到零；发散到无穷大；趋于等幅谐波振荡。从而军政府了系统是稳定的、不稳的、临界稳定的。但对于非线性系统而言，这种响应随差时间的推移不仅可能有上述三种情况，而且还可能趋于某一非零的常值或作非谐波的振荡，同时还可能由初态不同，这种响应随着时间推移的结果民不同。因此，对于右面线性系统，以上对定常线性系统所讲的稳定性定义就不够用了，同理，以后对定常线性系统所讲的稳定性判据就不能用了。,三、关于稳定性的一些提法,第21页,如图所
13、示，若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起始偏差(即初态)不超过域h，由扰动引起的输出(这种初态引起的零输入响应)及其终态不超过预先经定的某值，即不超出域e，则系统称为稳定的，或称为李亚普诺夫意义下稳定。这也就是说若要求系统的输出不能超出任意给定的正数e，而又不能找到不为零的正数h，能在初态为,俄国学者李亚普诺夫在统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题后，于1882年对系统稳定性提出了严密的数学定义，这一定义可以表述如下。,h(e),e,o,第22页,的情况下满足输出为,式中k=0,1,2,，则系统称为在李亚普诺夫意义下稳定；反之，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数e ，但却不能
14、找到不为零的正数h来满足式，则系统称为在李亚普诺夫意义下不稳定。,第23页,2、渐近稳定性,渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，它要求由初态引起的响应最终衰减到零，因此，一般所讲的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然，也是李亚普诺夫意义下的稳定性；但对非线性系统而言，这两种稳定性是不同的。,第24页,比较渐近稳定性与李亚普诺夫意义下的稳定性可知，前者比后者对系统的稳定性的要求高，系统若是渐近稳定的则一定是李亚普诺夫意义下稳定的，反之则不尽然。在此应指出，在讨论李亚普诺夫意义下稳定性问题时，一般都将系统在工作过程中原平衡工作点的状态取为零态。这样做的结果是可使扰动所引起此状态的改变或偏
15、离作为初态，于是就可以简化对问题的讨论与研究。,第25页,3、“小偏差”稳定性,“小偏差”稳定性又称“小偏差”或“局部稳定性”。由于实际系统往往存在非线性，因此，系统的动力学往往是建立在“小偏差”线性化的基础之上的。在偏差较大时，线性化带来的误差太大。因此，用线性化方程来研究系统的稳定性时，就只限于讨论初始偏差(初态)不超出某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏大时，就不能用来讨论系统的稳定性。由于实际系统在发生等幅振荡时的幅值一般并不大，亦即系统在振荡时偏离平衡位置的偏差一般不大，因此这种“小偏差”稳定性仍有一定的实际意义。,第26页,如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，
16、则系统称为“在大范围内渐近稳定”。在工程控制中，一般是希望系统在大范围内渐近稳定，如果系统不是这样，则需确定系统渐近稳定的最大范围，并使扰动产生的初始偏差不超出此范围。,以下讨论的问题都是定常线性系统稳定性的问题。这种稳定性当然是大范围内的渐近稳定性(关于非线性系统的稳定性将在第七章阐述)。,第27页,第28页,定常线性系统稳定的充要条件是其全部特征根均具有负实部。,系统稳定、不稳定时根的分布图：,第29页,5.2 Routh(劳斯)稳定判据,定常线性系统稳定的充要条件是其全部特征根均具有负实部。判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是否均具有负实部。但在实际工作系统中，特征方程式的阶次往往较高，当阶次高于4时，根的求解就较困难。为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，以此来判别系统的稳定性，由此形成了一系列稳定性判据。其中最重要的一个判据就是1884年由Routh提出的
