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1、 1 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 习题习题 2.1 1 口袋中有 5 个球，编号为 1, 2, 3, 4, 5从中任取 3 只，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码 （1）试求 X 的分布列； （2）写出 X 的分布函数，并作图 解： （1）X 的全部可能取值为 3, 4, 5， 且1 . 0 10 1 3 5 1 3= =XP，3 . 0 10 3 3 5 2 3 4= =XP，6 . 0 10 6 3 5 2 4 5= =XP， 故 X 的分布列为 6 . 03 . 01 . 0 543 P X ； （2）因分布函数 F (x) = PX x，分段点为 x = 3,
2、 4, 5， 当 x + ax dx x dxxpaXP a aa ， 故0720.45)05. 01 (100 5 =a 18设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的密度函数为 a独立，且 P (AB) = 3/4，求常数 a 解：由于事件 A 和 B 独立，且显然有 P (A) = P (B)， 则 4 3 )()(2)()()()()()()()( 2 =+=+=APAPBPAPBPAPABPBPAPBAPU， 可得 2 1 )(=AP或 2 3 )(=AP（舍去） ， 显然 0 0，有 （1） = a dxxpaFaF 0 )(5 . 0)(1)(； （2）P| X | a = 21 F
3、 (a) 证： （1）因 p(x) 为偶函数，有 + = a a dxxpdxxp)()(且5 . 0)( 0 = dxxp， 则 +=+= aaa dxxpdxxpdxxpdxxpaF 00 0 )(5 . 0)()()()(， 故 = + aa a a dxxpaFdxxpdxxpdxxpaF 0 )(5 . 0)(1)(1)()()(； （2）P| X | =+= X E， 故一年以后购买股票，则所拥有的股票数量的数学期望达到最大 10保险公司的某险种规定：如果某个事件 A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额 a 元，而事 件 A 在一年内发生的概率为 p如果保险公司向投保户收取
4、的保费为 ka 元，则问 k 为多少，才能使保 险公司期望收益达到 a 的 10%？ 解：设 X 表示保险公司的收益，X 的全部可能取值为 ka, ka a， 则 E(X ) = (1 p) ka + p (ka a) = (k p) a = 0.1a， 故 k = p + 0.1 11某厂推土机发生故障后的维修时间 T 是一个随机变量（单位：h） ，其密度函数为 = . 0, 0 ; 0,e02. 0 )( 02. 0 t t tp t 试求平均维修时间 解： 平均维修时间50 02. 0 e ee)e(e02. 0)( 0 02. 0 0 02. 0 0 02. 0 0 02. 0 0 0
5、2. 0 = =+= + + + + + t tttt dttdtdttTE 12某新产品在未来市场上的占有率 X 是仅在区间 (0, 1) 上取值的随机变量，它的密度函数为 = . 0, 0 ; 0,e )( x x xp x 解：7e25e2e)52()e)(52(e)52()52( 00000 =+=+=+=+ + + + + + xxxxx dxxdxdxxXE 14设随机变量 X 的分布函数如下，试求 E ( X ) = x dx x XPp， 则 16 1 )1 (0 4 =pYP， 16 4 )1 ( 1 4 1 3 = =ppYP， 16 6 )1 ( 2 4 2 22 = =
6、ppYP， 16 4 )1 ( 3 4 1 3 = =ppYP， 16 1 4 4 =pYP， 故5 16 80 16 1 4 16 4 3 16 6 2 16 4 1 16 1 0)( 222222 =+=YE 18设随机变量 X 的密度函数为 + = 证： （1）)( 11111 XEnXnPnXPnXPkXP nn n kkknk = + = + = + = + = + = ； （2） + = + = = + = + += + = = 11 1 0010 ) 1( 2 1 nn n kkknk nXPnnnXkPnXPkkXkP )()( 2 1 2 1 2 11 2 XEXEnXnPn
7、XPn nn = = + = + = 20设连续随机变量 X 的分布函数为 F (x)，且数学期望存在，证明： + = 0 0 )()(1 )(dxxFdxxFXE 证：设 X 的密度函数为 p(x)，有 + += 0 0 )()()()(dxxxpdxxxpdxxxpXE， 14 因 + + + = = 0000000 )()()()()( y y xx xFdydxxpdydyxpdxdxxpdydxxxp + = 00 )(1 )(1 dxxFdyyF， 且 = = 0000000 )()()()()( y y xx xFdydxxpdydyxpdxdxxpdydxxxp = 00 )(
8、)(dxxFdyyF， 故 + = 0 0 )()(1 )(dxxFdxxFXE 21设 X 为非负连续随机变量，若 E(X n)存在，试证明： （1） + = 0 )(dxxXPXE； （2） + = 0 1 )(dxxXPnxXE nn 证：设 X 的密度函数为 p(x)，分布函数为 F (x)，当 x = 00 )(1 dxxXPdyyF； （2） + + + + = = 0 1 00 1 00 1 0 )()()()()( y n x n x nnn dxxpnydydyxpnydxdxxpdynydxxpxXE + + + = 0 1 0 1 0 1 )(1 )(dxxXPnxdyy
9、FnyxFnydy nn y n 15 习题习题 2.3 1 设随机变量 X 满足 E (X ) = Var (X ) = ，已知 E (X 1) (X 2) = 1，试求 解：因 E (X ) = Var (X ) = ，有 E (X 2) = Var (X ) + E (X )2 = + 2 ， 则 E (X 1) (X 2) = E (X 2 3X + 2) = E (X 2) 3E (X ) + 2 = + 2 3 + 2 = 2 2 + 2 = 1， 故 ( 1)2 = 0，即 = 1 2 假设有 10 只同种电器元件，其中有两只不合格品装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合 格
10、品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的 不合格品数的方差 解：设 X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为 0, 1, 2， 则 5 4 10 8 0=XP， 45 8 9 8 10 2 1=XP， 45 1 8 8 9 1 10 2 2=XP， 得 9 2 45 1 2 45 8 1 5 4 0)(=+=XE，且 15 4 45 12 45 1 2 45 8 1 5 4 0)( 2222 =+=XE， 故 405 88 9 2 15 4 )()()Var( 2 22 = =XEXEX 3 已知 E (X ) = 2，E
11、 (X 2) = 5，求 Var (1 3X ) 解：因 Var (X ) = E (X 2) E (X )2 = 5 (2) 2 = 1，故 Var (1 3X ) = (3)2 Var (X ) = 9 1 = 9 4 设 PX = 0 = 1 PX = 1，如果 E (X ) = 3Var (X )，求 PX = 0 解：因 PX = 0 + PX = 1 = 1，有 X 的全部可能取值为 0, 1，设 PX = 1 = p，PX = 0 = 1 p， 则 E (X ) = 0 (1 p) + 1 p = p，E (X 2) = 02 (1 p) + 12 p = p，即 Var (X
12、) = p p2， 因 E (X ) = 3Var (X )，有 p = 3(p p2)，可得 2p 3p2 = 0，即 3 2 =p或 p = 0， 故 3 1 10=pXP或 1 5 设随机变量 X 的分布函数为 = xxxFxp x ， 故 2 ee)e(e2)()( 0 0 00 2222 =+= + + + + + dxxxddxxxdxxxpXE xxxx ； 因 + + + + + += 0 0 2 0 2 0 222 2ee)e(e2)()( 2222 xdxxdxdxxxdxxpxXE xxxx 1e0 0 2 = + x ， 故 4 1 2 1)()()Var( 2 22 = =XEXEX 9 试证：对任意的常数 c E (X )，有 Var (X ) = E (X E (X )2 E (X E (X )2 = Var (X ) 10设随机变量 X 仅在区间 a, b 上取值，试证 a E (X ) b， 2 2 )Var( ab X 证：因 X a，有 X a 0，得 E (X a) = E (X ) a 0，即 E (X ) a，又因 X b，同理可得 E (X ) b， 故 a E (X ) b； 因 a X b，有 222 abba X ab + ，得 22 22 + abba X， 则0 2222 2222 + =
