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1、1 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 一、不等式一、不等式 1、不等式的基本性质： 、对称性： 传递性：_ 、 ，a+cb+c 、ab， ， 那么 acbc； ab， ，那么 acbc 、ab0， 那么，acbd 、ab0，那么 anbn.（条件 ） 、 ab0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理 1 如果 a, bR, 那么 a2+b22ab. 当且仅当 a=b 时等号成立。 定理 2（基本不等式） 如果 a，b0，那么 当且仅当 a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论： 已知结论： 已知 x, y 都是正数
2、。（都是正数。（1） 如果积） 如果积 xy 是定值是定值 p， 那么当， 那么当 x=y 时， 和时， 和 x+y 有最小值有最小值 2 ； （2）如果和）如果和 x+y 是定值是定值 s，那么当，那么当 x=y 时，积时，积 xy 有最大值有最大值 小结： 理解并熟练掌握基本不等式及其应用， 特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数 a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离： abbacacbba , Rcba
3、, 0c 0c 0 dc 2,nNn 2,nNn 2 ab ab 2 1 4 s p 3 3 , , 3 abc a b cRabc abc 定理如果，那么，当且仅 当时，等号成立。 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 2 12 12 2 , , , n n n n n aa aaa a aa n aa 1 1 把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均， 即： 当且仅当a时，等号成立。 2 任意两个实数 a,b 在数轴上的对应点分别为 A、B，那么|a-b|的几何意义是 A、B 两点间 的距离。 定理 1 如果如果 a, b 是实数，则是实数，则
4、 |a+b|a|+|b| ， 当且仅当当且仅当 ab0 时，等号成立。 （绝对值三角不等式）时，等号成立。 （绝对值三角不等式） 如果 a, b 是实数，那么 |a|-|b|ab|a|+|b| 定理 2 如果 a, b, c 是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)0 时，等号成立。 2、绝对值不等式的解法 （1）|ax+b|c 和|ax+b|c(c0)型不等式的解法： 换元法：令 t=ax+b, 转化为|t|c 和|t|c 型不等式，然后再求 x，得原不等式的解 集。 分段讨论法： 用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法 00 |(0) ()
5、 axbaxb axbc c axbcaxbc 或 00 |(0) () axbaxb axbc c axbcaxbc 或 型不等式的解法 和）（cbxaxcbxax2 3 典型例题典型例题 例 1 解不等式 例 2 解不等式|x+3|-|x-3|3。 例 3 解不等式|x 2-3|x|-3|cac，找到不等号的两边的中间量，从而使不 等式成立。 注意：注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。 规律方法指导规律方法指导 1、不等式证明的常用方法：1、不等式证明的常用方法： 比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。 2、反证法的证明步骤：2、反证法的证明步骤： 否定结论：假设命题的
6、结论不成立，即结论的反面成立； 推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾； 否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立； 肯定结论：原命题正确。 3、放缩法的常用技巧：3、放缩法的常用技巧： 在恒等式中舍掉或者加进一些项； 在分式中放大或缩小分子或分母； 例如： 应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩； 例如：f(x)为增函数，则 f(x-1)0, ab, a+b0, (a-b)20, ， . 总结升华：总结升华：作差，变形（分解因式、配方等） ，判断差的符号，这是作差比较法证明不 等式的常用方法。 举一反三：举一反三： 【变式 1】证明下列不等式： (1)a2+b2
7、+22(a+b) 7 (2)a2+b2+c2+32(a+b+c) (3)a2+b2ab+a+b-1 【变式 2】已知 a，b，x，y，且 a+b=1，求证：ax2+by2(ax+by)2 2、用作商比较法证明下列不等式： （1） (a，b 均为正实数，且 ab) （2）（a，b，c，且 a，b，c 互不相等） 证明：证明： （1）a3+b30, a2b+ab20. ， a, b 为不等正数， （2）证明： 不妨设 abc，则 所以， 总结升华：总结升华： 当不等号两边均是正数乘积或指数式时， 常用这种方法， 目的是约分化简. 作 商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于 1
8、或等于 1 或小于 1 结论。 8 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 a2，b2，求证：a+b6abc 证明：证明： 法一：法一：由 b2+c22bc, a0,得 a(b2+c2)2abc， 同理 b(c2+a2)2abc，c(a2+b2)2abc a,b,c 不全相等，上述三个等号不同时成立， 三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 法二：法二：a，b，c 是不全相等的正数， a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数， 由三个数的平均不等式得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2) 不等式成立. 总结升华：总
9、结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的 不等式成立。 举一反三：举一反三： 【变式 1】a , b, mR+，且 ab0，求证：. 9 思路点拨：思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式” ，但左侧是两项而右侧都出现了 特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成 3 项的和利用平均值定理. 证明：证明：， ab0, a-b0, b0, , , （当且仅当，即 a=2，b=1 的等号成立） 举一反三：举一反三： 【变式】x, y,zR+, 求证： 类型三：分析法证明不等式类型三：分析法证明不等式 5、已知 a,b0，且 2ca+b，求证： 证明：证明：要证，
10、只需证： 即证：，a2-2ac+c20，xy，求证： 类型四：反证法证明不等式类型四：反证法证明不等式 6、已知 a,b,c(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。 思路点拨：思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考 虑使用反证法。 证明：证明：假设原结论不成立，即， 则三式相乘有： 又00，abc0，求证：a,b,c0 类型五：放缩法证明不等式类型五：放缩法证明不等式 7、若 a,b,c,dR+，求证： 思路点拨：思路点拨：记中间 4 个分式之和的值为 m，显然，通过通分求出 m 的值再与 1、2 比大 小是困难的，可
11、考虑运用放缩法把异分母化成同分母。 证明：证明：记 a,b,c,dR+， 12，求证：a+b0，求证： 思路点拨：思路点拨：由于 a0，b0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作 商法和综合法，分析法给出证明。 证明：证明： 13 证法一：证法一：作差法 a,b0，a+b0,ab0 ，得证。 证法二：证法二：作商法 a0,b0,a+b0， 得证。 证法三：证法三：分析法 要证，只需证 a3+b3(a+b)ab 只需证(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab(a+b0) 只需证 a2-ab+b2ab 只需证(a-b)20 (a-b)20 成立，得证 证法四：证法四：综合法 a0,b0， 同向不等式相加得： 举一反三：举一反三： 【变式】已知都是实数，且求证：
