《马尔科夫预测法--期望利润预测ppt 45页)资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《马尔科夫预测法--期望利润预测ppt 45页)资料（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、马尔科夫预测法,第一节 基本原理,一、基本概念 1.随机变量 、 随机函数与随机过程 一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。 假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi 即P(x = xi) = Pi 对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列： Pi = 1 对于连续型随机变量，有 P(x)dx = 1,在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化. 如测量大气中空气温度变化x = x(h),随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。
2、 也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。,2、马尔科夫过程 随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下，过程在时刻tto时所处的状态只和to时刻有关，而与to以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。 即是：ito为确知,it(tto)只与ito有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。,简例：设x(t)为大米在粮仓中t月末的库存量，则 x(t) = x(t1)y(t) +G(t) t月的转出量 第t1月末库存量 ,G(t)为当月转入量 x(t)可看作一个马尔科夫过程。,3、
3、马尔科夫链 时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题 假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3,N，即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）,1,2,3,4,P33,P22,P44,P41,P42,P31,P32,写成数学表达式为： P( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it1,x1 = i1) =P( xt+1 = j | xt = it ) 定义：Pij = P( xt+1 = j | xt = i) 即在xt = i的条件下，使 xt+1 =
4、 j的条件概率，是从 i状态一步转移到j状态的概率，因此它又称一步状态转移概率。 由状态转移图，由于共有N个状态，所以有,二状态转移矩阵 1.一步状态转移矩阵 系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵 P11 P12 P1N 定义为 P21 P22 P2N : : : PN1 PN2 PNN 这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质 1） Pij 0,i,j = 1,2, , N 非负性性质 2） Pij = 1 行元素和为1 ,i=1,2,N,NN,P =,如： W1 = 1/4, 1/4, 1/2, 0 W2 = 1/3, 0, 2/3 W3 = 1/4, 1/4, 1/4, 1/
5、2大于1 W4 = 1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3不是非负 3）若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。,概率向量,非概率向量,2.稳定性假设 若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。 这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。 2004/11/22,3.k步状态转移矩阵 经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为 P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k) i,j = 1,2, , N 定义：k步状态转移矩阵为： P11(k) P12(k) P1N(k) P = : : : PN1(k)
6、 PN2(k) PNN (k) 当系统满足稳定性假设时 P = P = P P P 其中P为一步状态转移矩阵。 即当系统满足稳定性假设时，k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方.,k,k,k,例：设系统状态为N = 3，求从状态1转移到状态2的 二步状态转移概率. 解：作状态转移图 有三个状态 解法一：由状态转移图： 1 1 2: P11 P12 （ 此三个都是经过两步完成的） 1 2 2: P12 P22 1 3 2: P13 P32 P12 = P11 P12 + P12 P22 +P13 P32 = P1i Pi2,1,3,2,P13,P32,P11,P12,P12,P22,解法二：
7、 k = 2, N = 3 P11(2) P12 (2) P13(2) P = P21(2) P22 (2) P23(2) P31(2) P32(2) P33(2) P11 P12 P13 P11 P12 P13 = PP = P21 P22 P23 P21 P22 P23 P31 P32 P33 P31 P32 P33 得： P12(2) = P11 P12 + P12 P22 +P13 P32 = P1i Pi2 P12(2) 是第一行乘以第二列的结果,例：味精销售问题 已连续统计六年共24个季度，确定畅销，滞销界限，即只允许出现两种状态，且具备无后效性。 设状态1为畅销，状态2为滞销,作
8、出状态转移图: 图中: P11为当前畅销，连续畅销概率； P12为当前畅销，转滞销概率； P22为当前滞销，连续滞销概率； P21为当前滞销，转畅销概率。,1,2,P22,P11,P12,P21,数据在确定盈亏量化界限后的统计表如下： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 状态 t 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 状态 进行概率计算时，第二十四个季度为畅销，但后续是什么状态不知，故计算时不能采用，只用于第二十三季度统计。 有： P11 = 7/(7 + 7) = 0.5; P12 = 7/(7 + 7) = 0.5; P21 = 7/
9、(7 + 2) = 0.78; P22 = 2/(7 + 2) = 0.22 则 0.5 0.5 0.78 0.22 此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性各占一半 若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风险22%,P =,二步状态转移矩阵为： 0.5 0.5 0.5 0.5 0.78 0.22 0.78 0.22 0.64 0.36 0.5616 0.4384 P11(2) P12(2) P21(2) P22(2),=,=,P = P =,2,2,三.稳态概率： 用于解决长期趋势预测问题。 即：当转移步数的不断增加时，转移概率矩阵 P 的变化趋势。 1.正规概率矩阵。
10、定义：若一个概率矩阵P，存在着某一个正整数m,使P 的所有元素均为正数（Pij o），则该矩阵称为正规概率矩阵,k,例： 1/2 1/4 1/4 P = 1/3 1/3 1/3 为正规概率矩阵 2/5 1/5 2/5 0 1 P11 = 0 1/2 1/2 但当 m = 2， 有 有Pij 0 它也是正规概率矩阵。 （P 每个元素均为正数） 但 1 0 0 1 就找不到一个正数m,使P 的每一个元素均大于0，所以它不是正规概率矩阵。 （也就是说单位矩阵不是正规概率矩阵 ）, ,P =,2,2,P =,m,P =,2,2.固定概率向量（特征概率向量） 设 P为NN概率矩阵,若U = U1, U2
11、, UN为概率向量,且满足UP = U,称U为P的固定概率向量 例 0 1 1/2 1/2 为概率矩阵 P的固定概率向量 U = 1/3 , 2/3 检验 UP = 1/3 2/3 0 1 1/2 1/2 =1/3 2/3 注:U是行向量。,P =,3.正规概率矩阵的性质 定理一 设P为NN正规概率矩阵，则 A .P有且只有一个固定概率向量（唯一性） U = U1,U2, UN 且U的所有元素均为正数 Ui 0 B.NN方阵P的各次方组成序列 P, P, P, ,P 趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概率向量U。 即 U1 U2 UN U lim Pk = T = : : : = : U1
12、 U2 UN U 这个方阵T称稳态概率矩阵。,2,3,k,这个定理说明：无论系统现在处于何种状态，在经过足够多的状态转移之后，均达到一个稳态。 因此，欲求长期转移概率矩阵，即进行长期状态预测，只要求出稳态概率矩阵T； 而T的每个行向量都是固定概率向量，所以只须求出固定概率向量U就行了 !,定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量。 U1 U2 UN XT = X : : : = U1Xi U1Xi U1Xi U1 U2 UN = U1 U2 UN = U Xi =1,例：若 0.4 0.3 0.3 P = 0.6 0.3 0.1 求T 0.6
13、 0.1 0.3 解：设 U = U1 U2 U3 = U1 U2 1U1U2 由 UP = U 有 0.4 0.3 0.3 U1 U2 1U1U2 0.6 0.3 0.1 = U1 U2 U3 0.6 0.1 0.3,即 -0.2U1 + 0.6 = U1 U1 = 0.5 0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2 U2 = 0.25 -0.2U2 + 0.3 = U3 U3 = 0.25 U = 0.5 0.25 0.25 则 0.5 0.25 0.25 T = 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 说明： 不管系统的初始状态如何，当系统运行时间较长时，转移到各个状态的概率都相等。（列向量各元素相等） 即 各状态转移到1状态都为0.5; 2状态都为0.25 ; 3状态都为0.25,第二节 市场占有率预测,商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而产
