第七章平面解析几何§7.1向量和直线方程

《第七章平面解析几何§7.1向量和直线方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章平面解析几何§7.1向量和直线方程（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1第七章 平面解析几何在初中学习阶段，你已经学过平面几何，也知道了坐标的概念，并且应用坐标来研究了一些基本初等函数的图象；在第五章还介绍了函数图象的移位缩放作图法，使你能在坐标系中作出不少函数的图象 应该说所有这些，主要是为反映和研究函数的性质服务 坐标系本来是一个几何概念，你会觉得对它的本家平面几何反而没有尽到服务的责任，这似乎有点说不过去 事实上，在数学发展的历史上，笛卡儿引入直角坐标系后，最早也是用于研究几何学上的一些问题 本章的主要内容，可以弥补你的缺憾应用坐标来研究平面几何中的一些基本问题 平面几何中所研究的主要对象是两类，一类是直线及由线段构成的多边形，如三角形、平行四边形梯形等等

2、；另一类则是曲线，如圆等 这些仍然是本章所研究的主要对象；在曲线方面，范围还会扩充到与圆密切相关的椭圆、双曲线、抛物线 在研究方法方面，当然不会完全重复平面几何中的一套，特别在直线及多边形方面，我们将用向量的观点及相关方法来考察它们的性质和关系 27.1 向量和直线方程预备知识平面直角坐标系及坐标的概念重点坐标系的基底和向量的概念向量的坐标各种形式的直线方程及其求法难点对向量的理解在不同条件下，以不同形式写出直线方程学习要求理解向量和向量坐标的概念，会在直角坐标系中作出已知坐标的向量已知起终点坐标，会熟练地写出向量的坐标理解向量在确定直线中的作用熟记点向式、点斜式、斜截式直线方程，并能在不同已

3、知条件下应用它们得到直线方程掌握一般式直线方程及其与其它形式直线方程的转化理解用二元一次不等式( 组) 表示的平面区域3几何中除了单个的点或有限个点之外，由无限个点组成的点的集合，最简单的莫过于直线了，本节就从这个最简单的集合直线讲起 我们要解决两个基本问题：如何确定一条直线；确定的直线在一个坐标系中如何表示 从确定直线的原始想法出发，要引进一种全新的量向量；为了在一个坐标系中表示直线，还要知道向量的坐标 有了这两者，几乎所有有关直线的问题就都能得到解决了 1. 解析几何概述什么是解析几何？它与平面几何的根本区别在哪里？为什么要学习解析几何？你在开始学习本章之前，也许已经在考虑这些问题了 (1

4、)什么是解析几何平面几何是研究形及其数量特性的，所谓形，无非是由直线构成的多边形(如三角形、平行四边形) 或圆；所谓数量特性，是指线段的长度、圆或多边形的面积等等 在平面几何中，告诉了你三角形的三个顶点A,B,C，三角形是完全被确定了的，但你却求不出面积来，这是因为在平面几何中对最基本的几何元素点，没有赋予任何数字特性，因此无法用数来表示点的位置，在平面上给了三点，除了三个黑点之外，什么都没有，要你求面积，当然是勉为其难了 若在平面上建立了坐标系，情况就不同了，说给定三点，就得确实给出它们的信息它们的位置，即它们的坐标 有了坐标，你就能知道每条边的长度，还能知道某条边上的高(这些正是本节和下一

5、节要学习的内容) ，面积就可以求出来了 点的位置、即点的坐标是一对有序数，因此可以说，建立坐标系后，把点这个几何中最基本的元素，赋予了数字特性 凭借这一点，继而可以把点集(包括直线、曲线 )数字化，这就是所谓的直线方程、曲线方程；再继而，我们可以把它们之间的相关关系予以数字化，例如两直线垂直有什么数字特征等；最后，我们还能用函数关系去研究它们的性质 因此可以说，把平面几何数字化就是解析几何，也可以说，解析几何是研究几何元素和几何形的数字特征的一门学科 名词“解析”的来由，是因为在坐标系下讨论几何的形，几乎都要用方程来表示，而正如你在第五章中所看到的，方程往往是坐标变量的解析式 (2)为什么要学

6、习解析几何把几何学数字化成为解析几何之后，明显带来两大好处 首先它能把几何元或形之间的关系数字化，精确表示出不同几何元和形之间的位置关系 例如三点是否共线？在平面几何中去验证是很难的，在解析几何中只要验证这三点是否同时满足一个直线方程；又例如过圆外一点，向圆引切线，在平面几何中只能凭肉眼观察，再作得精确，到显微镜下去看一看，还可能有偏差；在解析几何中就不同了，有了坐标，就能4有圆和过已知点的直线的方程，要相切，根据第五章中求曲线交点的方法，只要联立这两个方程且仅有一个解就行了，这样我们可以精确地算出切点的坐标，理论上来讲，偏差已经不存在了 其次，在计算机日益普及的今天，大量图形都通过计算机处理

7、和存储；然而计算机只能处理数字，因此必须把图形数字化 以计算机存储图形来说，不外两种方式 一种是全息存储，例如把一张彩色照片存放到计算机内，扫描仪会把彩照划分成极细密的格子(一般一平方英寸要分成 6060 格) ，在每一小格内找一个代表点，把这点的坐标、灰度码、色别码(所谓码也是一个数字)等信息存储到计算机内 要显示这幅彩照时，只要读出这些信息，在计算机坐标系内，逐点按坐标、色别、灰度显示，彩照就出来了 另一种是参数存储，例如要存放一个红色虚细线描绘的三角形，只要存储三个顶点的坐标，线型、色别码及连线顺序，计算机根据这些信息，会算出连接这三点的直线方程，然后在计算机坐标系内按要求的线型和色别，

8、逐点描绘直线上的点，三角形就会再现于显示屏上 这种存储方式不但信息量少，而且更加精确 可见，无论用哪一种方式存储，都离不开几何的数字化，也即离不开解析几何 2. 直线的确定和向量现在让我们从最简单的直线讲起 (1)平面上确定直线的条件在实际生活中直线方式是经常遇到的，实际中是如何确定一条直线的呢？如果忽略地球表面近似是球面这个因素，那么可以认为一架飞机从上海飞到北京是按直线方式飞行的，你没有见过在地面上，从上海到北京划一条直线，然后要求飞行员按这条线飞行吧？实际上只要告诉飞行员从上海出发，按什么方向飞行就得了，因为一个起点，再有一个方向，飞行员就能确定一条直线方式的飞行路线 说得近一些，在操场

9、上跑 100 公尺，划好直线跑道固然可以顺利沿直线跑到终点，难道不划线，你就不能按照直线跑到终点了？其实只要在终点竖立一个标记，例如插一面旗，甚至站立一位裁判，你就会奋力按照直线跑向终点，为什么呢？因为有了起点，根据终点标记，你又明确了方向，你会自觉地确定一条直线方式的行进路线 这些生活经验告诉我们，一个定点和一个方向，就能确定一条直线路径 这种生活经验反映到几何上，用数学语言来表述，那就是说，在平面上给定一个点 A，一个方向(在图上暂时用一个带有短线段的箭头表示 )，就能确定一条与指定方向平行的直线 l(见图 7-1)若在平面上建立了直角坐标系，给定一个点A，就是给出了点 A 的坐标；什么叫

10、给定了一个方向呢？在实际生活中好说，从上海到北京的方图 7-1Al5向，谁都能明白；可是在数学上怎么来理解和表示一个给定方向？这个问题的本质，其实就是如何把通俗所称的方向予以数字化 (2)向量的概念在实际中常常是以东南西北作为一个参照系统来指明一个方向 例如说东偏北 30，你立即知道是图 7-2 上所画的那个方向 坐标轴与图 7-2 上的东南西北指向很相似，只要你把 x 轴的正向看作东，把 y 轴的正向看作北，把坐标系作为参照系，我们不是也能用 x 轴偏 y 轴 30 来说明上述方向吗？但这种说法还是比较含糊，如何将其进一步数字化呢？如图 7- 3，在坐标平面内，用一个带有箭头的短线段来表示方

11、向 若把箭头的始点移到坐标原点，终点的位置 A 就确定了，它的坐标也就确定了，不妨设它的坐标为( x,y) 显然，点 A 坐标( x,y)与两个因素有关：一个是指向；另一个是短线段的长度 如图 7-4(1)，两个长度相同的箭头因为指向不同，把始点移到原点后，终点 A,A1 的坐标不同；而图 7-4(2)，两个指向相同的箭头因为长度不同，把始点移到原点后，终点 A, A1 的坐标也不同 这就是说，数学上所讲的方向，包含了两个因素：指向和长度 指向和长度合起来就是所谓已知方向的数字化；把箭头的始点移到原点，终点坐标是数字化的具体体现 我们希望有一个确切的名称来同时包含指向、长度的意思 这个确切的名

12、称就是向量 即所谓向量，是一个既有指向、又有大小的量(长度就是这个量的大小)，也就是说，我们 把指向、长度合起来看作为一个量向量 因此，当且仅当指向相同且大小相等的两个向量，才能称为相等 在一个坐标系中，把一个向量的始点移到原点，终点的坐标称为这个向量的坐标 相等的向量的坐标也相同 有了向量的名称，我们可以说，一个点和一个向量，就能确定一条平行于该向量的直线 我们把这个向量称为直线的方向向量 例 1 (1)已知一个向量与 x 轴的正向成 150角，长度为 3，求其坐标；(2)已知一个向量的坐标为(-3,-1)，试以(1,1)为始点，作出这个向量，并求此向量的长度 图 7-2ENWS30(y)(

13、x)图 7-3xyO xy A图 7-4(2)xyO xy AA1x1y1图 7-4(1)xyOy AA1x1y1x6解 (1)建立坐标系；以原点为顶点、 x 轴正向为始边，作 150角，在终边上量取长度为 3 的线段 OA，并在点 A 处标以箭头( 见图 7-5)设点 A 的坐标为( x, y)，则 x=3cos150=- ， y=3sin150= 223所以所求向量的坐标为(- , ) 3(2)建立坐标系，作出点 A(-3,-1)；连接 OA，并在点 A 处标以箭头，得到一个与求作的向量相等的向量 把它平移，使始点到坐标为(1,1)的点P 处，所得向量即为所求(见图 7-6)向量长度= O

14、A= 10)(32例 2 若把向量的始点移到原点，终点总是落在以原点为圆心、半径为 5 的圆上 请问向量的坐标有何特点？解 设向量与 x 轴正向的角为 ，则把它的始点移到原点后，其终点坐标为 (5cos, 5sin) (1)所以向量的坐标总是具有(1)的形式，其中的 为向量与 x 轴正向的角 课内练习 11. (1)已知一个向量与 x 轴的正向成 270角，长度为 4，求其坐标；(2)已知一个向量与 x 轴的正向成 240角，长度为 a，求其坐标；(3)已知一个向量的坐标为(-1,-1)，试以(3,-1) 为始点，作出这个向量，并求此向量的长度 2. (1)长度相等为 a 的向量，当把始点移到

15、原点后，其终点位置有何特征？(2)指向相同而长度不同的向量，当把始点移到原点后，其终点位置有何特征？(3)关于向量的一些说明过去你所接触的全是数量，即只有大小、没有指向的量，因此向量对你来说，是一个全新的概念 向量的实际背景首先你会觉得向量是不是搞数学的人想出来的花样，实际生活中是否有那么一种量，它确实是向量？事实上，实际中很多的量就是既有大小、又有指向的，例如你所熟悉的速度，就应该是一个向量，你以某个大小的速度往哪儿跑？这不有一个指向问题吗？要没了指向，就无法考虑具体的运动了，因此物理学中的速度是一个向量 你会反驳，过去我也处理过不少行程问题，速度从来就是数量，不也解决问题了吗？其实在你以前考虑的行程问题中，物体的运动路径(即指向) 都是事先设定好了的，这样剩下xyOA150图 7-5xyOA图 7-6PB7的问题仅仅是算算路程的长短和速度的大小，当然不会涉及指向了 又例如你所熟悉的作用力，也应该是一个向量，你对举重杠铃施以往上的力，杠铃会被你提起来，若施以推力，杠铃能被提起来吗？它只会滚动而绝不会上升对吗？因此只有力的大小而没有指向，是无法确定物体在力的作用下的运动的 但是过去我们只考虑力与运动方向指向一致的情况，使力的指向问题被掩盖起来了 再例如稍微抽象一点的点的位移，除了移动多少距离(即大小) 之