第八章理想流体有旋流动和无旋流动资料

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1、过程装备与控制工程教研室,1,第 八 章 理想流体的有旋流动和无旋流动,过程装备与控制工程教研室,2,在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。 要研究此类问题，就要用多维流动的分析方法。 本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。,过程装备与控制工程教研室,3,本章内容 微分形式的连续方程 流体微团运动分解 理想流体运动方程 定解条件 理想流体运动微分方程的积分 涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量 斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理,平面涡流 速度

2、势 流函数 流网 几种简单的平面势流 简单平面势流的叠加 均匀等速流绕过圆柱体的平面流动 均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动,过程装备与控制工程教研室,4,第一节 微分形式的连续方程,过程装备与控制工程教研室,5,当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。 对于一定的控制体，必须满足 它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。,过程装备与控制工程教研室,6,直角坐标系中微分形式的连续性方程 在流场中取出微元六面体ABCDEFG 微元六面体中心点上流体质点的速度为vx、vy、vz 密度为 和x轴垂直的两个平面上的

3、速度和密度,过程装备与控制工程教研室,7,在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质量为： dt时间通过右面流出的流体质量为： 则dt时间内沿x轴通过微元体表面的质量净通量为,过程装备与控制工程教研室,8,在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的净通量分别为： 在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 开始瞬时流体的密度为，经过dt时间后的密度为 在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为,过程装备与控制工程教研室,9,连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。 它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。,可压缩流体非定常三维流动的连续性

4、方程,过程装备与控制工程教研室,10,定常 不可压缩定常 物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。,过程装备与控制工程教研室,11,柱坐标系中微分形式的连续性方程 定常 不可压缩定常,过程装备与控制工程教研室,12,球坐标系中微分形式的连续性方程 定常 不可压缩定常,过程装备与控制工程教研室,13,【例】已知不可压缩流体运动速度v在x，y两个轴方向的分量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0处，有vz=0。试求z轴方向的速度分量vz。,过程装备与控制工程教研室,14,第二节 流体微团运动分解,过程装备与控

5、制工程教研室,15,流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。 一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。,过程装备与控制工程教研室,16,在流场中任取一微元平行六面体 边长分别为dx、dy、dz。 t瞬时A点的速度为 顶点M速度为,过程装备与控制工程教研室,17,过程装备与控制工程教研室,18,线速度,线变形速率,剪切变形速率,旋转角速度,过程装备与控制工程教研室,19,在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分： 以流体微团中某点的速度作整体平移运动线速度 绕通过该点轴的旋转运动旋转角速度 微

6、团本身的变形运动线变形速率、剪切变形速率,过程装备与控制工程教研室,20,oxy坐标面内，t时刻矩形ABCD的运动,过程装备与控制工程教研室,21,平移运动 矩形ABCD各角点具有相同的速度分量vx、vy。导致矩形ABCD平移vxt, 上移vyt, ABCD的形状不变。,过程装备与控制工程教研室,22,线变形运动 x方向的速度差 y方向的速度差 AB、DC在t时间内伸长 AD、BC在t时间内缩短,过程装备与控制工程教研室,23,定义：单位时间内单位长度流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线变形速率。 沿x轴方向的线变形速率为 沿y轴、z轴方向的线变形速率为,过程装备与控制工程教研室,24,对于不

7、可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。 三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。 不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。,过程装备与控制工程教研室,25,角变形运动,过程装备与控制工程教研室,26,角变形速度：两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量 剪切变形速率 该夹角变化的平均值在单位时间内的变化 角变形速度的平均值,过程装备与控制工程教研室,27,旋转运动 流体微团只发生角变形 流体微团只发生旋转，不发生角变形 流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动,过程装备与控制工

8、程教研室,28,旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量 角平分线的旋转量 旋转角速度 单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值,过程装备与控制工程教研室,29,过程装备与控制工程教研室,30,过程装备与控制工程教研室,31,亥姆霍兹速度分解定理 在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2）绕该点的旋转运动； （3）含有线变形和角变形的变形运动。 微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团 流体微团的运动分解定理,过程装备与控制工程教研室,32,亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响： 由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我

9、们有可能把运动分成无旋运动和有旋运动； 正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体变形速度与流体应力联系起来，这对于粘性流体运动规律的研究有重大的影响。,过程装备与控制工程教研室,33,根据流体微团是否旋转可将流体的流动分为两大类 有旋流动 流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。 流体微团的旋转角速度不等于零（数学条件） 无旋流动 如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。 流体微团的旋转角速度等于零（数学条件）,过程装备与控制工程教研室,34,无旋流动 需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由

10、流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。,过程装备与控制工程教研室,35,【例】给定直角坐标系中速度场vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各变形速度，并判断流场是否为不可压缩流场。,过程装备与控制工程教研室,36,【例】给定两个流场： （1）vx=-y，vy=x；vz=0； （2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。 求这两个流场的迹线和旋转角速度。,过程装备与控制工程教研室,37,第三节 理想流体运动微分方程 定解条件,过程装备与控制工程教研室,38,一、理想流体运动方程 在流场中取一平行六面体 边长分别为x，y，z 中心点

11、为(x,y,z) 中心点的压强为p=p(x,y,z) 密度为=(x,y,z) 因研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力 作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为fx，fy，fz 以该六面体为控制体，应用动量方程,过程装备与控制工程教研室,39,沿x方向从左面单位时间流入控制体的动量为 从右面流出的动量为 沿x方向单位时间流出与流入控制体的动量差 y方向、 z方向 经过控制面单位时间流体动量的净通量为,过程装备与控制工程教研室,40,控制体内单位时间流体动量的变化 作用在控制体内流体上的质量力 沿x方向压强的合力 y方向、 z方向 作用在控制面上压强的合力为,过程装备与控

12、制工程教研室,41,过程装备与控制工程教研室,42,理想流体微分形式的运动方程，又称流体运动的欧拉方程。 表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡：在流场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它上面的重力与压力之和。 该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。 vx=vy=vz=0，方程变为流体平衡的欧拉方程。,过程装备与控制工程教研室,43,柱坐标系中的欧拉运动微分方程式 球坐标系中的欧拉运动微分方程式,过程装备与控制工程教研室,44,兰姆方程（可直接从微分方程中判定流动是否有旋）,兰姆方程,过

13、程装备与控制工程教研室,45,质量力有势 正压流场,压强函数,过程装备与控制工程教研室,46,理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系,过程装备与控制工程教研室,47,二、定解条件 对于不可压缩理想流体，未知量有vx、vy、vz、p四个，除三个运动微分方程外，还有连续方程，联立可以求解； 对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量，需补充物态方程，方可求解； 对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量T，还需补充能量方程，才能求解； 满足基本方程的解有无穷多，要得到给定流动的确定解，必须给出它的定解条件，包括起始条件和边界条件。,过程装备与控制工程教研室,48,1.

14、起始条件 方程组的解在起始瞬时（t=0）应满足的条件，是起始瞬时流动参数在流场中的分布规律，即 起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件，但在研究定常流动时，可以不必给出。,过程装备与控制工程教研室,49,2. 边界条件 方程组的解在流场边界上应满足的条件。 边界条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动力学的，也可以是热力学的。,过程装备与控制工程教研室,50,固体壁面 理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它形成空隙，壁面上流体质点的法向速度vln应等于对应点上壁面的法向速度vbn，即vln=vbn。 如果壁面静止不动，则vln=0。 流体与固壁的相互作用力也必沿壁

15、面的法线方向。,过程装备与控制工程教研室,51,流体交界面 若在交界面上两种流体互不渗透，它们在同一点上的法向速度应相等，通常两侧的温度也是连续的，即v1n=v2n，T1=T2 若交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足p1-p2=(1/R1+1/R2) 若交界面是平面，R1=R2，则p1=p2 若交界面是自由表面，则p=pamb 若自由表面上是大气，则p=pa,过程装备与控制工程教研室,52,无穷远处 一般给定该处流体的流速v、压强p 和密度 。 流道进出口处 此处的条件需视具体情况而定，一般给出该处截面上的速度分布。,过程装备与控制工程教研室,53,第四节 理想流体运动方程的积分,过程装备与控制

16、工程教研室,54,一、欧拉积分 正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动 在流场中任取一有向微元线段,过程装备与控制工程教研室,55,正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的动能v2/2、质量力位势能、压强势能PF之和在流场中保持不变。,过程装备与控制工程教研室,56,二、伯努利积分 正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。 流线与迹线重合 在流场中沿流线取一有向微元线段 在三个坐标轴上的投影分别为,过程装备与控制工程教研室,57,正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的动能v2/2、质量力位势能、压强势能PF之和沿同一流线保持不变。 一般情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。,过程装备与控制工程教研室,58,不可压缩重力流体，若取坐标轴z方向向上： =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=C 如果流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流场中保持不变； 如果流动有旋，这三项之和沿同一流线保持不变。,过