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1、,概率论与数理统计,第六讲 离散型随机变量,经济数学基础,第二章 随机变量及其分布,在这一章我们将利用函数的观点对概率进行定量的研究，并导出一些常用的概率模型的分布。,我们有时需要高数中的积分作为工具。,首选引入随机变量，然后再引入分布函数,最后再引入常见的分布。,为了研究更复杂的随机现象，我们需要发展我们研究方法。,第一节 随机变量,例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数,在随机试验中人们关心的很大一部分问题都与数值有关，如n个产品中的不合格品个数 : 0，1，2，n ，试验结果本身就是一个数值；有些试验结果虽然不是数值，但是我们关心的却是一个数值
2、。,分析：我们将3只黑球分别记作B1，B2，B3号，2只白球分别 记作W1,W2号，则该试验的样本空间为(n=10),我们记 X=“取出的黑球数”， X 的取值情况可由下表给出：,则 X 的可能取值为1，2，3它随着样本点的不同而变化，因此X是一个变量但是X取什么值依赖于试验结果，试验结果具有一定的随机性，则X的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量,由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值（注意不一定是一一对应，随机变量取各值概率未必相同），这样变量 X 是可以看做是样本空间上的函数：,我们定义了随机变量X的好处是：可以用随机变量的取值范围来刻划随机事件
3、例如,=“表示至少取出2个黑球这一事件”,随机变量的定义,设E是一个随机试验,是样本空间称样本空间上的单值函数,为一个定义在上的随机变量。,随机变量通常用大写英文字母或希腊字母表示。,注：随机变量的严格（数学）定义与概率空间中的事件域有关。,掷一颗骰子，令X为出现的点数 则 X 就是一个随机变量它的取值为1，2，3，4，5，6问,X=4“掷出的点数不超过4”,X为偶数“掷出的点数为偶数”,则,x4与X为偶数是什么事件？,例 2,注意 X的取值是有限个！,例 3,一批产品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正品现从中取出 6 件，令 X：取出 6 件产品中的次品数 则 X 就是一个随机变量
4、它的取值为 0，1，2，6则：,X=0=“取出的产品全是正品”,X1=”取出的产品至少有一件次品”,注意 X的取值是有限个！,例 4,每天上午 8:009:00 在某路口观察，令： Y“该时间间隔内通过的汽车数”， 则,（2）Y100=“通过的汽车数小于100辆”,（3）50Y=100=“通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆”,（1）Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1，2，,注意 Y 的取值可列无穷个！,例 5,观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z“该生物的寿命”。 则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数,(2)Z3000表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件
5、,（1）Z=1500表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件,注意 Z 的取值是不可数无穷个！,例 6,掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示 出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例 如我们可以定义：,这样一个样本空间中我们可以定义很多很多随机变量。,在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量,注 意 点 (1),(1) 随机变量X()是样本点的函数，,其定义域为 ，其值域为R=(，),若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 X=1.5 是不可能事件.,(2) 若 X 为随机变量，则 X = k 、 a X b 、 均为随机事件.,即 a X b =；a X() b ,(3)
6、注意以下一些表达式：,X = k= X kX k；,a X b = X bX a；, X b = X b.,(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.,若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或可列个，则称 X 为离散型随机变量. 连续型随机变量X 的可能取值充满某个区间a, b（或开区间或整个实轴），而它的定义需要用到积分形式。 除此以外，还有别的类型随机变量.,随机变量的分类,第二节 离散型随机变量,定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列个，则称这种随机变量为离散型随机变量。,一 离散型随机变量的概率分布,对于离散型随机变量，一方面我们关心随机变量取哪些值，例如在一批产品中随机
7、抽取10件，我们要关心的是能够取到几件正品，更重要的是我们关心随机变量取这些值对应的概率,X 取各个可能值的概率，即事件 的概率为,（1）,称(1)式为离散型随机变量X的概率分布或分布律 .,一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,概率分布也可以直观地用下面的表格来表示：,分布列的基本性质,(非负性),(正则性),注 意 点,求离散随机变量的分布列应注意：,(1) 确定随机变量的所有可能取值;,(2) 计算每个取值点的概率.,例 2 10件产品中有7件正品，每次从中任取一件，试在下列三种情况下分别直到取得正品为止.求所需抽取次数X 的分布律 ： (1) 每次取出的产品不再放回； (2)
8、 每次取出的产品仍然放回； (3) 每次取出一件产品后总放回一件正品。,解,故所求概率分布为：,故所求概率分布为：,例3 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律,解,故所求概率分布为：,练习,1 投两枚骰子，X表示最大点数，Y表示最小点数，分别写出X,Y的分布列。,由概率分布还可求出Xa，Xa， a Xb, aXb, aXb等事件的概率 上题：P(X 1）=？,二 常见的离散型分布,1.（01）分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的概率分布是,则称 X 服从（01）分布或两点分布。,（01
9、）分布的概率分布也可写成,T,H,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从（01）分布的随机变量。,来描述这个随机试验的结果。,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（01）分布的随机变量来描述 。,2.二项分布,设试验 只有两个可能结果： 及 , 则称 为伯努利（Bernoulli）试验。设 ，此时 ,将E 独立地重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。,若随机变量X的概率分布为,例4 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k
10、(k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？,解 以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X b(20,0.2) 则所求的概率为,将计算结果列表如下：,作出上表的图形，如下图所示,设k=k0时P(X=k) 取最大值，则k0满足,由第一式有,即,同理,二项分布中，使概率P(X=k) 取最大值的k0称为二项分布的最可能值。,其中（n+1）p表示不超过（n+1）p的最大整数。,所以,练习,1.口袋中有3只黑球，2只红球，放回式摸球，摸球3次，每次1只，这3次摸球摸到2只黑球的概率是多少？（如果是不放回，摸到2只黑球的概率是多少） 2某人每次射击命中率都为0.6，射击20次，求（1
11、）恰好4次没有击中的概率 （2）最有可能击中多少次 （3）已知此人前三次都没有击中，求第四次击中的概率。,记为 X h(n, N, M).,超几何分布对应于不放回抽样模型 ：,N 件产品中有 M件次品 ，,从中抽取n个，次品的个数为X .,3.超几何分布,练习：某班级共有30名男同学，20名女同学，现任找5名同学，求（1）其中恰好有1名女同学的概率。 （2）已知这5名同学中有1名女同学，求其余四人都是男同学的概率,4.泊松分布,例5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 5的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？,解,由附录的
12、泊松分布表知,只要在月底进货9件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。,泊松定理 设随机变量Xn服从二项分布，其概率分布为,其中pn为事件发生的概率它与试验次数n有关。,证明:记=npn，有,对于任意固定的k,有,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布,在Bernoulli试验中，,将试验进行到 A 首次出现为止，X“所需实验次数”,则X服从几何分布即：,5.几何分布,例 7,对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率 为0.64，射击进行到击中目标时为止，令： X：所需射击次数 试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行2次射击 才能击中目标的概率 解：X1,2，3， 这是一个几何分布。,得PX2的概率为：,练习：某人射击，每次命中率都为0.6，他有4发子弹，射击直到击中或子弹打光时为止，X表示此人射击次数，求 X的分布律,
