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1、离散型随机变量的数学期望,复习引入,1.独立重复试验定义： 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,1、每次试验是在同样条件下进行； 2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 3、各次试验中的事件是相互独立的； 4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。,注：独立重复试验的基本特征：,1.基本概念,基本概念,2、二项分布：,一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为,此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p),并称p为成功概率。,5,1.概率分布列,一般地，假定随机变量X有
2、n个不同的取值，它们分别是x1,x2, ,xn且P(X=xi)=pi, （i=1,2, ,n） 则称为随机变量X 的分布列，简称为X的分布列.,此表叫X概率分布列，,表格表示,1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,互动探索,一、离散型随机变量取值的均值,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的均值或数学期望。,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,3(2011福建福州质检)已知某一随机变量的概率分布
3、列如下，且E6.3，则a的值为( ) A.5 B6 C7 D8 解析：由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4 E40.5a0.190.46.3 a7.故选C. 答案：C,类型一 求离散型随机变量的期望 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤： 列出离散型随机变量的分布列；利用公式Ex1p1x2p2xipi，求出期望值 【典例1】 (2011福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为. (1)为何值时，其发生的概率最大？
4、说明理由 (2)求随机变量的期望E.,点评 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法问题(1)，对的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可,（广东卷17） 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为X （1）求X的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）； （3
5、）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,高考链接：,【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2； ， ， , 故的分布列为：,（2）,（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为3%,设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量 （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？,思考：,YaXb,一、离散型随机变量取值的均值,二、随机变量数学期望的性质（线性性质）,即时训练：,1、随机变量X的分布列是,(1)则E(X)=
6、 .,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若Y=2X+1，则E(Y)= .,5.8,E（）=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,例1：已知随机变量X的分布列如下：,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,则,三、例题讲解,两点分布的期望,三、例题讲解,变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？,分析： XB（3，0.7）,为什么呢？,Ex=,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球
7、命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,三、例题讲解,变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分x的均值是多少？,x的概率分布如下：,xB(n,p),为什么呢？能证明它吗？,E(X)=np,证明：,所以,若B(n，p)，则E（）np,证明：若B(n，p)，则Enp,2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则E(X)=np,结论：,1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则E(X)p,3， 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有
8、放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .,3,即时训练：,4，随机变量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)= .,例2.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中摸出3个球. （1）求得到黄球个数的分布列； （2）求的期望。,小结：,一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则,超几何分布的数学期望,例3. 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方
9、式？,解：设商场在商场外的促销活动中获 得经济效益为X万元，则X的分布列为,0.4,0.6,4,10,E X = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元,2万元,故应选择在商场外搞促销活动。,例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,思路分析：,解：,设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则,X1B(20，0.9)， X2B(20，0.25)，,EX120
10、0.918，,EX2200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5X1)5EX151890，,E(5X2)5EX25525,布置作业,谢谢,！,(2010衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品 (1)若这箱产品被用户接收的概率是 ，求n的值； (2)在(1)的条件下，记抽检的产品次品件
11、数为X，求X的分布列和数学期望,作业：,【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A， n2. (2)X的可能取值为1,2,3.,P(A)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的概率分布列为：,1(2010河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响求： (1)至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望,解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A， 则P(A) (2)设“恰有2人签约”为事件B， “甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1； “甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2； 则：BB1B2 P(B)P(B1)P(B2),(3)设X为签约人数 X的分布列如下：,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
