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1、离散型随机变量的数学期望,复习引入,1.独立重复试验定义: 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,1、每次试验是在同样条件下进行; 2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生; 3、各次试验中的事件是相互独立的; 4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。,注:独立重复试验的基本特征:,1.基本概念,基本概念,2、二项分布:,一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为,此时称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p),并称p为成功概率。,5,1.概率分布列,一般地,假定随机变量X有
2、n个不同的取值,它们分别是x1,x2, ,xn且P(X=xi)=pi, (i=1,2, ,n) 则称为随机变量X 的分布列,简称为X的分布列.,此表叫X概率分布列,,表格表示,1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是多少?,把环数看成随机变量的概率分布列:,互动探索,一、离散型随机变量取值的均值,一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:,则称,为随机变量X的均值或数学期望。,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,3(2011福建福州质检)已知某一随机变量的概率分布
3、列如下,且E6.3,则a的值为( ) A.5 B6 C7 D8 解析:由分布列性质知:0.50.1b1,b0.4 E40.5a0.190.46.3 a7.故选C. 答案:C,类型一 求离散型随机变量的期望 解题准备:求离散型随机变量的期望,一般分两个步骤: 列出离散型随机变量的分布列;利用公式Ex1p1x2p2xipi,求出期望值 【典例1】 (2011福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3,第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为. (1)为何值时,其发生的概率最大?
4、说明理由 (2)求随机变量的期望E.,点评 本题主要考查某事件发生概率的求法,以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法问题(1),对的取值做到不重不漏,这是学生容易出错的地方利用好计数原理和排列、组合数公式,求事件发生的概率,问题(2)比较容易,用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可,(广东卷17) 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元设1件产品的利润(单位:万元)为X (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望); (3
5、)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?,高考链接:,【解析】(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2; , , , 故的分布列为:,(2),(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 依题意, ,即 ,解得 所以三等品率最多为3%,设YaXb,其中a,b为常数,则Y也是随机变量 (1) Y的分布列是什么? (2) E(Y)=?,思考:,YaXb,一、离散型随机变量取值的均值,二、随机变量数学期望的性质(线性性质),即时训练:,1、随机变量X的分布列是,(1)则E(X)=
6、 .,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若Y=2X+1,则E(Y)= .,5.8,E()=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,例1:已知随机变量X的分布列如下:,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少?,一般地,如果随机变量X服从两点分布,,则,三、例题讲解,两点分布的期望,三、例题讲解,变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他连续罚球3次的得分X的均值是多少?,分析: XB(3,0.7),为什么呢?,Ex=,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球
7、命中得1分,罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少?,三、例题讲解,变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为p,则他连续罚球n次的得分x的均值是多少?,x的概率分布如下:,xB(n,p),为什么呢?能证明它吗?,E(X)=np,证明:,所以,若B(n,p),则E()np,证明:若B(n,p),则Enp,2;一般地,如果随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),则E(X)=np,结论:,1;一般地,如果随机变量X服从 两点分布(1,p),则E(X)p,3, 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从中有
8、放回地取5次,则取到红球次数的数学期望是 .,3,即时训练:,4,随机变量XB(8,p),已知X的均值E(X)=2,则P(x=3)= .,例2.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从中摸出3个球. (1)求得到黄球个数的分布列; (2)求的期望。,小结:,一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则,超几何分布的数学期望,例3. 假如你 是一位商场经理,在五一那天想举行促销活动,根据统计资料显示,若在商场内举行促销活动,可获利2万元;若在商场外举行促销活动,则要看天气情况:不下雨可获利10万元,下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%,你应选择哪种促销方
9、式?,解:设商场在商场外的促销活动中获 得经济效益为X万元,则X的分布列为,0.4,0.6,4,10,E X = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元,2万元,故应选择在商场外搞促销活动。,例4:一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确,每题选对得5分.不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,思路分析:,解:,设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2,则,X1B(20,0.9), X2B(20,0.25),,EX120
10、0.918,,EX2200.255,由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以,他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5X1)5EX151890,,E(5X2)5EX25525,布置作业,谢谢,!,(2010衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有n件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品 (1)若这箱产品被用户接收的概率是 ,求n的值; (2)在(1)的条件下,记抽检的产品次品件
11、数为X,求X的分布列和数学期望,作业:,【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A, n2. (2)X的可能取值为1,2,3.,P(A)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的概率分布列为:,1(2010河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约;丙、丁面试都合格则一同签约,否则两人都不签 约设每人面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响求: (1)至少有三人面试合格的概率; (2)恰有两人签约的概率; (3)签约人数的数学期望,解:(1)设“至少有3人面试合格”为事件A, 则P(A) (2)设“恰有2人签约”为事件B, “甲、乙两人签约,丙、丁两人都不签约”为事件B1; “甲、乙两人都不签约,丙、丁两人签约”为事件B2; 则:BB1B2 P(B)P(B1)P(B2),(3)设X为签约人数 X的分布列如下:,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,