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1、高三数学专项训练：立体几何解答题（理科）1在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点（1）求异面直线A1E，CF所成的角；（2）求平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值2如图,在长方体,中,点在棱AB上移动.（）证明:; （）当为的中点时,求点到面的距离; （）等于何值时,二面角的大小为.3如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EBFB1. (1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG平面D1EF.4如图，在长方
2、体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长5如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C；(3)求二面角B-AB1-C的大小6如图，在长方体AC1中，AB=BC=2，点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心（1）求证：BE/平面D1AC；（2）求证：AFBE；（3）求
3、异面直线AF与BD所成角的余弦值。7如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小.8如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点（1）求证:平面;（2）求平面和平面的夹角. 9如图，四棱锥中,，底面为梯形，且，.（1）求证：;（2）求二面角的余弦值.10如图所示，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，AD平面DEFG，BAAC，EDDG，EFDG，且AC1，ABEDEF2，ADDG4. (1)求证：BE平面DEFG；(2)求证：BF平面ACGD；(3)求二面角FBCA的余弦值11如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角
4、梯形，其中BAAD，CDAD，CDAD2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点 (1)求证：BE平面PAD；(2)若BE平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值12如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值13如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，点M在线段EC上（除端点外）（1）当点M为EC中点时，求证：平面；（2）若平面与平面ABF所成二面角为锐角，且该二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积14如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱
5、),底面中，棱，分别为的中点.（1）求的值；（2）求证： 15如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。16在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA平面ABCD. (1)求证：PCBD；(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥EBCD的体积取到最大值求此时四棱锥EABCD的高；求二面角ADEB的正弦值的大小17如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD
6、是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点 (1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值18如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点 (1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值.19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，A1A，M是CC1的中点(1)求证：A1BAM；(2)求二面角B AMC的平面角的大小.20已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC
7、的中点(1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值21如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上.（1）求证：；（2）若，求直线与所成角的 余弦值；（3）若平面与平面所成的二面角为，求的值.22在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD；(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.23如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点(1)证明：PA平面BDE；(2)求二
8、面角B-DE-C的余弦值24在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为等腰直角三角形，且ABCDE（1）证明：平面平面（2）求直线EC与平面BED所成角的正弦值25如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点(1)证明：直线EE1平面FCC1；(2)求二面角B-FC1-C的余弦值26已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点.FESDCBAA（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的大小.27已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD底面ABCD,PD=A
9、D. ()求证：BC平面PAD；()若E、F分别为PB,AD的中点,求证：EFBC；()求二面角C-PA-D的余弦值.28（本小题12分）如图：四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PEAF;（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45. 29如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别是的中点AEBPCDF(1)求证：；(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；(3)求与平面所成角的正弦值30如图，正三棱柱中，点是的中点. ABCDA1B1C1（）求证:
10、平面；（）求证: 平面.31如图，四棱锥PABCD中，为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB平面ABCD，E为PD点上一点，满足(1)证明：平面ACE平面ABCD；(2)求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小32（14分）如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M.参高三数学专项训练：立体几何解答题（理科）考答案1（1）（2）【解析】试题分析：（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，代入向量夹
11、角公式，可得求异面直线A1E，CF所成的角；（2）求平面A1EF与平面ADD1A1的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的余弦值以D为原点建立空间直角坐标系（1）A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1），设异面直线A1E，CF所成的角为，则，即3=cos解得cos=解，所以，所求异面直线的夹角为（2），设平面A1EF的法向量为，则，令x=1，则平面A1EF的一个法向量为，平面ADD1A1的一个法向量为，设平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角为，则由，即2=1cos解得：故平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值为考点：用空间向量求平面间的夹角；用
12、空间向量求直线间的夹角、距离点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，用空间向量求直线间的夹角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题及二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键2（）详见解析；（）；（）.【解析】试题分析：（）建立空间坐标,分别求出的坐标,利用数量积等于零即可；（）当为的中点时,求点到平面的距离,只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；（）设,因为平面的一个法向量为,只需求出平面的法向量,然后利用二面角为,根据夹角公式,求出即可.试题解析：以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则,（）,故 ； （）因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ； （）设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去), 时,二面
