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1、 因式分解拔高题1在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法例如，如果要因式分解x2+2x3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x3=x2+2x1+1213=（x+1）222=解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x3；（3）请用上述方法因式分解x24x52请看下面的问题：把x4+4分解因式分析
2、：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+44x2=（x2+2）24x2=（x2+2）2（2x）2=（x2+2x+2）（x22x+2）人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解（1）x4+4y4；（2）x22axb22ab3下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步
3、）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_A、提取公因式B平方差公式C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解4找出能使二次三项式x2+ax6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解5利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数6已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（
4、3x2），试求m的值并将多项式因式分解7已知多项式（a2+ka+25）b2，在给定k的值的条件下可以因式分解请给定一个k值并写出因式分解的过程8先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+2222+5）=2（x+2）2+1（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所
5、以，原式的值恒大于0，并且，当x=2时，原式有最小值2请仿照上例，说明代数式2x28x10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么9老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式10在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x1）（x9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x2）（x4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解
6、11观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x3）+412（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）
7、2（1+x）=（1+x）3上述分解因式的方法是_，由到这一步的根据是_；若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2006，结果是_；分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）13阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足ab=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）如分解因式x2+5x+6解：因为23=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）再如分解
8、因式x25x6解：因为61=6，6+1=5，所以x25x6=（x6）（x+1）同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x27x+12；（3）x2+4x12；（4）x2x12答案1请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+44x2=（x2+2）24x2=（x2+2）2（2x）2=（x2+2x+2）（x22x+2）人们为了
9、纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解（1）x4+4y4；（2）x22axb22ab考点：因式分解-运用公式法专题：阅读型分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目解答：解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y24x2y2，=（x2+2y2）24x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y22xy）；（2）x22axb22ab，=x22ax+a2a2b22ab，=（xa）2（a+b）2，=（xa+a+b）（xaab），=（x+b）（x2ab）点评：本题考查了添项法因式分解，难度比较大2下面是某同学对多项式
10、（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的CA、提取公因式B平方差公式C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x2）4（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解考点：提公因式法与公式法的综合运用专题：阅读型分析：（1）完全平方式是两数的平方和与
11、这两个数积的两倍的和或差；（2）x24x+4还可以分解，所以是不彻底（3）按照例题的分解方法进行分解即可解答：解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）x24x+4还可以分解，分解不彻底；（3）设x22x=y（x22x）（x22x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（x22x+1）2，=（x1）4点评：本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等3找出能使二次三项式x2+ax6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解考点：因式分解-十字相乘法等分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是6的
12、两个因数的和，则6可分成3（2），32，6（1），61，共4种，所以将x2+ax6分解因式后有4种情况解答：解：x2+x6=（x+3）（x2）；x2x6=（x3）（x+2）；x2+5x6=（x+6）（x1）；x25x6=（x6）（x+1）点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数6的不同分解是本题的难点4利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数考点：因式分解的应用分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论解答：解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2
13、（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+22n），=（4n+2）2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，所以4（2n+1）是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单5已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x2），试求m的值并将多项式因式分解考点：因式分解的意义分析：由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x2，所以当x=时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案解答：解：x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x2， 当x=时多项式的值为0，即3=0，2+m=0，m=2；3x2+x+m=3x2+x2=（x+1）（3x2）；故答案为：m=2，（x+1）（3x2）点评：本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解6已知多项式（a2+ka+25）b2，在给定k的值的条件下可以因式分解请给定一个k值并写出因式分解的过程考点：因式分解-运用公式法专题：开放型分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可解答：解：k=10，假设k=10，则有（a2+10a+25）b2=（a+
