《matlab中的lmi工具箱的研究与使用资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《matlab中的lmi工具箱的研究与使用资料（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言21 LMI工具箱介绍和使用311 系统描述312 信息检313 问题求解314 结果验证32 LMI基础知识421 LMI的一般形式422 描述LMI的相关术语423 LMI应用的基本问题524 LMI不等式问题625 三类标准的LMI控制问题及其相应的求解器6251 可行性问题6252 具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题6253 广义特征值最小化问题63 LMI工具箱函数详解931 LMI工具箱函数列表932 确定LMI系统的函数933 对LMI变量的操作1034 LMI求解器命令1035 结果验证和修改123
2、51 结果验证12352 结果修改1236 LMI系统信息提取124 线性矩阵不等式在控制理论中的应用1441 LMI用于控制问题常用的技术14411 矩阵操作技术14412 LFT(Linear Fraction Transformation)和多胞(polytopy)表示方法1442 在控制理论中的应用举例1443 用线性矩阵不等式求解控制问题的实例1544基于LMI的鲁棒控制器设计16235 结论和展望20致谢21参考文献22Matlab中的LMI工具箱的研究与使用摘要：由于内点算法可以利用计算机求解高阶矩阵不等式，使得线性矩阵不等式（LMI）在控制理论得以应用，因而线性矩阵不等式在控制
3、系统分析、设计中扮演着越来越重的角色。在毕业设计中，我学习了LMI理论，Matlab中LMI工具箱的使用，研究了常见的控制问题与LMI关系以及其表达式，并研究了基于LMI方法的鲁棒控制器设计问题，推导了如何将鲁棒控制器设计问题转化为LMI形式，给出了通过求解LMI方程构造控制率的算法。LMI是一种较新的方法，可以在控制系统的许多领域得以应用，如鲁棒控制、非线性控制预测控制等有着巨大的潜力。关键词：线性矩阵不等式；LMI工具箱；控制系统The research and use of the Matlba LMI toolboxStudent majoring in Automation SUN
4、Peng-kunTutor Abstract：Due to the interior point algorithm can use computer to solve high order matrix inequality,It makes the linear matrix inequality (LMI) in the control theory to application and linear matrix inequality (LMI) played more and more heavy role in the control system analysis and des
5、ign. At the graduation design, I studied the LMI theory, in the use of Matlab LMI toolbox, and studies the problem of common control with LMI relations and its expression,and I studied the problem of the robust contoeller design that based on lmi method, how to transform the robust controller design
6、 problem into the LMI form, and given by solving the LMI equation of tectonic control algorithm. LMI is a new method, it can be used in many control system fields, such as robust control, nonlinear control predictive control, and it has great potential.Key words: linear matrix inequality; LMI toolbo
7、x; control system;robust control引言线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于： 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； 修改现有的线性矩阵不等式系统； 求解三个一般的线性矩阵不等式问题； 验证结果。在60年代，已经提
8、出了线性矩阵不等式，但由于当时的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大，因而线性矩阵不等式在实际中未得到充分应用。近几年来，由于线性矩阵不等式的理论不断完善，求解算法也不断成熟，加上计算机的广泛应用，线性矩阵不等式的求解变得很方便，因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向，因此出现了许多计算机应用软件，其中以美国 MathsWorks.Inc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行。在MATLAB5.1版本中，就增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。近十多年来，线性矩阵
9、不等式广泛用于解决控制系统中的问题，随着线性矩阵不等式的内点法的提出、Matlab软件中LMI工具箱的推出，线性矩阵不等式(LMI)越来越受到人们的重视，已成为系统与控制领域研究中的一大热点问题。1971年，Willems提出了线性矩阵不等式（LMI）的概念，1988年，Nesterov和Nemirovskii研究出可直接用于求解LMI凸优化问题的内点算法，随后Boyd等人总结了LMI在工程系统和控制理论中的应用，奠定了LMI在控制理论与应用的基础。由于目前许多控制系统的分析、设计问题以及约束条件等均可以转化为一系列LMI的可解性问题来处理，并有Matlab等高效可靠的工具软件提供技术支持和开
10、发手段，因此基于LMI的控制理论和方法已成为近年来控制界的研究热点之一。近年来LMI主要应用在控制理论中，广泛应用于解决系统与控制中的一系列问题。这些问题的解决一般是根据控制理论建立线性矩阵不等式，然后再用Matlab中的LMI工具箱求解（LMI工具箱中的函数一般只能处理固定形式的线性矩阵不等式）。由于LMI的模糊控制理论有效地解决了如何利用Lyapnov方法分析和设计模糊控制器的重要问题，同时也确立了模糊控制理论研究的一个重要方向，因此一经提出便受到了模糊控制研究人员的普遍关注。LMI控制工具箱，采用内点法的LMI求解器，这些求解器比经典的凸优化算法速度有了显著提高。另方方面，它采用了有效的
11、LMI结构化表示，在求解和计算领域做出了重大贡献。因此基于LMI的控制理论和方法已成为近年来控制界的研究热点。1 LMI工具箱介绍和使用11 系统描述LMI系统的描述既可以通过交互式GUI界面lmiedit来进行直观的矩阵描述，又可以通过命令lmivar和lmiterm来进行逐项的描述。12 信息检交互式函数lmiinfo提供有lmiedit、lmivar和lmiterm所创建的LMI系统的量化检索功能。也可以通过lmiedit使得由一系列lmivar 和lmiterm命令所建立的LMI系统可视化。13 问题求解一般的LMI求解器都可以针对上面说到的三类标准LMI问题进行求解，三个求解器可以解
12、决一般结构的LMI系统和矩阵变量，并返回一个关于决策变量x的可行或者最优解，相应的矩阵变量函数dec2mat得到。求解线性矩阵不等式问题的算法主要有椭球法和内点法及其他的数值解法。其中内点法的优点很明显，它不需要给出迭代的初始可行解且能够求解拟凸问题。Matlab软件开发出功能强大的LMI工具箱的算法就是基于内点法，它提供了与上述相对应的3类标准的线性矩阵不等式问题求解函数:feasp，mincx，gevp。此外，该工具箱还可用于以下几方面。多目标控制器综合，包括LQG综合，综合和极点配置综合。系统鲁棒性的分析和测试，包括检测时变线性系统的二次稳定性，带有参数的Lyapunov 稳定性，混合的
13、分析以及带有非线性成分的Popov准则。系统的辨识、滤波、结构设计、图形理论、线性代数以及加权值等问题，LMI工具箱还提供了两个交互的图形用户界面(GUI):LMI编辑器和Magshape界面。用户可以在LMI编辑器中很方便地描述线性矩阵不等式。14 结果验证所得解x很容易由函数evallmi和showlmi进行验证,从而实现检查分析结果。LMI系统中的所有变量都可以通过evallmi有决策变量x的值来估计，此时，每个LMI左边和右边的部分都变味了常数矩阵，可以由showlmi显示。2 LMI基础知识21 LMI的一般形式一个线性矩阵不等式具有如下形式： （1）式中,是m个实数变量，称为是线性
14、矩阵不等式(1)的决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量。，是一组给定的实对称矩阵,式(1)中的“”指的是矩阵是负定的,即对所有非零的向量或的最大特征值小于零。所有满足线性矩阵不等式(1)的的全体构成一个凸集。在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用Riccati不等式方法来解决的，而Riccati不等式的求解带有一定的保守性。Riccati不等式是二次矩阵不等式，所以将二次矩阵不等式转化成线性矩阵不等式很有必要和意义，在此转化过程中，矩阵的Schur补引理起着决定性的作用。考虑一个矩阵，并将进行分块式中，是维的。假定是非奇异的，则称为是在中的Schur补。下面不加证明地给出矩阵的Schur 补引理及其性质。引理：对给定的对称矩阵，以下3个结论是等价的。注意到式(ii)和式(iii)中的第二个不等式是一个非线性矩阵不等式，上述的等价关系说明了应用矩阵的Schur补性质，一些非线性矩阵不等式可以转化成线性矩阵不等式。从而利用现有的软件Matlab中的LMI工具箱可以直接对问题求解。22 描述LMI的相关术语以控制中的一个典型线性矩阵不等式为例来进行说明： （2）式中是外因子；叫项；式中的X为矩阵变量；“”左边为较小的一边叫左边，0为右边。其中，是上
