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1、行列式的计算方法综述行列式的计算方法综述 目目 录录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法） （线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考） 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。 下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.1.定义法定义法 由定义看出，级行列
2、式有个项。较大时，是一个很大的数字。直接n!nn!n 用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在级行列式中的等于零的项的个数较n 多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行 列式较方便。 例1.算上三角行列式 11121 222 0 00 n n nn aaa aa a 解：展开式的一般项为 1 2 12 12 1 n n j jj jjnj a aa 11121 222 1122 0 00 n n nn nn aaa aa a aa a 同样，可以计算下三角行列式的值。 11 2122 1122 12 00 0 nn nnnn a aa a aa aaa 2.2.化
3、三角形法化三角形法 画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下） 三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积） 求出值。 例2.计算 n abbb babb Dbbab bbba 解：各行加到第一行中 111 n anbanbanb bab D bba 1111 1 babb anb bbab bbba 把第二列到第列都分别加上第一列的倍，有n 1 1 1000 00 1100 00 n bab anbanbabbab bab 3.3.逐行（列）相减法逐行（列）相减法 有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元 素都集中
4、在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。 例3.计算级行列式n 1231 1221 132 12 1 nn xnn xxnn D xxx xxxx 解：从第二行起，每一行的倍都加上上一行，有 1 11111 01111 00111 00011 1 x x x D x xxxx 上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素，且最后一10或 行有元素都是。因此可再用两列逐列相减的方法：第列起，每一列1nx1n 的倍加到后一列上 1 1000 0100 00100 0001 0001 xx xx x D xx xx 100 0100 1 001 0001 xx x x xx
5、 x 1 000 100 10100 001 n x xx xx xx 1 11 nn n xx 4.4.升降法（加边法）升降法（加边法） 升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的阶成为阶，且往往n1n 让阶行列式的值与原阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计1nn 算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于 “消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。 例4.计算级行列式n 12 12 12 1 1 1 n n n D 解： 12 12 12 12 1 01 01 01 n n n n D 12 1 1100 1010 1000 n 12 1 1 1 0
6、100 1 0010 0001 n in n i 5.5.利用范德蒙德行列式利用范德蒙德行列式 例5. 计算级行列式n 111 1 222 2 121 121 121 1111 nnn n nnn n n ananaa ananaa D ananaa 解：这个行列式与范德蒙行列式很相似，可以利用行列式的性质将它化为范 德蒙行列式。 的第行依次与行，行行, 行对换，再将所得到的行列式 n Dn1n2n , 21 的第行，依次与行，行行对换。如此继续下去，直到最后将第 n 1n2n,2 行与行对换，这样经过次对换后，n1n 1 12211 2 nnn n 得到 1 2 222 2 111 1 11
7、11 121 1 121 121 n n n nnn n nnn n ananaa D ananaa ananaa 这是一个范德蒙行列式。于是有 1 2 1 1 n n n j i n Danianj 1 2 1 1 n n j i n ij 范德蒙行列式是一个重要的行列式，它可以作为公式应用。 6.6.递推法递推法 这种方法是计算阶行列式较有用的一种方法。首先利用行列式性质把给定的n 阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示式称为递推关系式。n n D 然后从递推关系式出发求出的一般表示式。 n D 例6. 计算级行列式n 1221 1000 0100 0000 0001 n nnn
8、x x x x D x aaaaa 解：本题第一列只有两个非零元素，且的余子式恰为。因此我们有可 11 a 1n D 能找出递推关系式。按第一列展开得 1 1 1000 100 1000 001 n nnn x Dx Dax x 2 11 1 n nnnn x Dax Da 故 1nnn DaxD 这就是本题行列式的一个递推关系式，往减少方向递推有n 112nnn Dax D 故有 2 121212nnnnnnnn DaxDax axDaaxx D 2 123nnnn aaxxaxD 23 123nnnn aaxaxx D 232 1232 nn nnn aaxaxa xxD 232 123
9、21 1 nn nnn x aaxaxa xx aax 2321 12321 nnnn nnn aaxaxa xa xa xx 7.7.数学归纳法数学归纳法 计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便，所以我们就 用数学归纳法。数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证 时用的方法。 例7试证阶行列式n 1221 1000 0100 0000 0001 n nnn x x x D x aaaaax 12 121 2 nn nn xa xa xaxan 证明：用归纳法步骤 1.验证：当时，2n 左 2 1212 21 1x x axaxa xa aax 右左边右边 2
10、12 xa xa 注意：当本题行列式为阶时，应取右下角的阶与有关的行列式，而不能22 12 ,a a 取左上角的。 2 设当阶时，结论成立。1n 则将用第一列展开，有 n D 1 1 1000 100 1000 001 n nnn x DxDax x 11 123 111221 11 nn nnn nnnnnnn xDaxDax xa xa xaxaa 122 1221 nnn nnn xa xa xaxaxa 右 8.8.拆项法拆项法 由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再 得原行列式值。此法称为拆行（列）法。 例 8. 000 000 000 0 n aaaaa
11、a baabaa Dbbabba bbbbbbaa 000 00 000 aaabb baabaa bbaba bbbabbba 0100 010 0100 1 aaaa babaa abbbb bbbbbba 对于上面的第一行列式，将第列乘加到其余各列上，对第二个行列式按第nb 列展开，最后可得：n 11 10 010 0010 00010 n n nnn bababaaa babbaa Dabbba bbb 这样我们得一个递推公式： 1 1 n nn DabaD 如果将第一列对按类此方法拆项，又可得到另一递推公式：b 1 1 n nn DbabD 取立上述两递推公式 1 1 1 1 n nn n nn DabaD DbabD 当时，ab 11 1 1 nn n n ab Dab ab 当时，ab 1 11 n n n Dna 9.9.换元方法换元方法 这种方法利用行列式的这样一条性质： 设 1112111121 2122221222 1 1212 , nn nn nnnnnnnn xxx xxx DD xxx 则 1 ,1 n ij i j DDxA 例 9.计算阶行列式n n x x D x 解： 00 00 00 n x x D x 1 00 00 00 n x x n x x 11
