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1、 第五章 二次根式【知识网络】知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表
2、示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是
3、负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号.(2)注意
4、知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：2二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在
5、二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，通过约分达到化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4分母有理化把分母中的根号化
6、去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互为有理化因式；（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x取何值时，的值最小？最小值是多少？分析 由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.解：，当9x+1=0，即时，有最小值，最小
7、值为3.【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即0（a0）.专题2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是 （ ）分析 根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中，B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A. 例3 计算的结果是 （ ）分析 本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为故选D.例4 书知.分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.
8、解：由二次根式的定义及分式性质，得【解题策略】 本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.例5 化简【解题策略】 本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质图21-8例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简解：由a，b，c在数轴上的位置可知：【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.规律方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行
9、化简，简称“零点分区间法”.例8 已知分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.解：a+b=-3，ab=12，a0，b0.【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入. 专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9 估计+的运算结果应在 （ ）A. 6到7之间B. 7到8之间C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即. 故选C.例10 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值. 解：91316，即34
10、的整数部分为3，即m=3，的小数部分为二、规律方法专题专题4 配方法【专题解读】 把被开方数配方，进而应用化简.例11 化简规律方法 一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(xy0)，使得xy=b，x+y=a，则，于是，从而使得到化简.例12 若a，b为实数，且b=，试求的值.分析 本题中根据b=可以求出a，b，对的被开方数进行配方、化简.解：由二次根式的性质得当【解题策略】 对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意专题5 换元法【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13 计算解：令x=，两边同时平方得：x2=（）（）
11、+2=10专题6 代入法【专题解读】 通过代入求代数式的值.例14 已知专题7 约分法【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15 化简例16 化简三、思想方法专题专题8 类比思想【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.解：（1）原式=（1+2）=3. （2）原式=3-+2+2=2+4.
12、【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决. 例18 函数y=中，自变量x的取值范围是 .分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中是二次根式，所以被开方数2x-40,所以x2.故填x2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为，则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为
13、二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为，代入可知（）2-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公式进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.例20 若化简的结果为，则x的取值范围是 （ ）A. x为任意实数 B. 1x4C. x1 D. x4分析 由题意可知，由此可知，且，由绝对值的意义可知，且，所以的取值范围是.故选B.【解题策略】 对和|a|形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体
14、的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.解：沿前、右两个面爬，路径长为(cm).图21-10沿前、上两个面爬，路径长为(cm).沿左、上两个面爬，路径长为(cm).所以它要爬行的最短路径长为cm.规律方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.二次根式单元测试题（一）判断题：（每小题1分，共5分）12（）22的倒数是2（）3（）4、是同类二次根式（）5，都不是最简二次根式（）（二）填空题：（每小题2分，共20分）6当x_时，式子有意义7化简 8a的有理化因式是_9
