八年级数学寒假专题9-全等三角形湘教版

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1、初二数学初二数学寒假专题寒假专题全等三角形全等三角形湘教版湘教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题全等三角形 来源:学&科&网 教学目标： 1. 理解旋转及旋转的性质 2. 掌握全等三角形及其性质与判定 3. 掌握直角三角形的性质及判定 4. 掌握角平分线的性质与判定 5. 掌握勾股定理及其逆定理 6. 通过典型例题的讲解，使同学们灵活掌握某些特殊题的巧妙方法和特殊思维，从而提 高同学们探索问题，解决问题的能力。 二. 重点、难点 重点： 1. 掌握全等三角形的性质与判定 2. 掌握直角三角形的性质与判定 3. 掌握勾股定理及其逆定理来源:学,科,网 难点：灵活掌握某些

2、特殊题的巧妙方法与特殊思维方式 知识要点归纳： 1. 旋转变换的概念： 将图形 F1绕定点 O 旋转一个定角，得到图形 F2，这种由图形 F1变到 F2的变换称为旋 转变换。 2. 旋转变换的性质： （1）旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 （2）对应线段相等，对应角相等 （3）任意两条对应线段的夹角等于旋转角 3. 全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 4. 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线相等。 5. 两个三角形全等的判定方法： SSS SAS ASA AAS 6. 直角三角形的性质：来源:学科网 （1）有一

3、个角为直角 （2）有两个锐角互余 （3）斜边上的中线等于斜边的一半 （4）如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （5）如果一个角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个角等于 30 （6）勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。 7. 直角三角形的判定：来源:学科网 （1）有一个角为 90的三角形是直角三角形。 （2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （3）勾股定理的逆定理：有两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。 （4）有两锐角互余的三角形是直角三角形。 8. 两个直角三角形全等的判定方法： SSS SAS ASA AA

4、S HL 9. 角平分线的性质： 一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 10. 角平分线的判定：来源:Zxxk.Com 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 规律与方法归纳： 1. “中心对称”是旋转的一个特殊情形旋转角为 180的旋转，旋转中心称为对称 中心，中心对称由对称中心完全确定。 2. （1）利用旋转变换的手段解几何问题的方法叫旋转变换法。 （2）利用这种方法解题的基本做法是把图形的一部分作对称变换，使条件与结论之间 的联系更加明显和集中，辅助线段的添加更为自然。 （3）运用这种方法的关键是确定绕哪个点旋转和旋转角的大小，从而正确运用旋转变 换的性质解题。 3

5、. 两个全等的三角形可以经过平移，旋转，轴反射等运动或变换使之重合。 4. （1）运用三角形全等，可以证明线段相等，角相等，两直线垂直等问题。 （2）利用全等三角形的方法证题的关键是要找到两个待证的全等三角形。 （3）还可以利用等腰三角形，直角三角形的特殊角或边之间的关系，证明两角，两 线段相等或两线段垂直。 （4）也可以利用勾股定理逆定理证明两线段垂直。 【典型例题典型例题】 在前面的两个寒假专题讲座中，老师介绍了七种特殊的方法和一些创新题的创新思想， 创新思维，今天这个讲座老师将通过一些典型例题，介绍一些特殊题型的巧妙方法和特殊 思维方式。 例 1. 在ABC 中，已知ABBCAC 222

6、 37011674，求此三角形的面积。来源: 学*科*网 Z*X*X*K 分析：分析：本题是已知三边的长，求三角形的面积。按照常规的思维，可以用作高的方法 来解，但是比较复杂。 观察题中已知条件的特点：370917 22 ，116410 22 ，7457 22 ，且 945，17107，由这个特点我们可以考虑构造出一个几何图形，进而活用勾股定 理来解决， “巧”是解这个题的关键。 - 3 - 解：解：如上图，作矩形 ADBE，使 AD17，AE9，在 EA 上取 EG4，在 EB 上取 EF7，过 G 作 GK/AD 交 BD 于 K，过 F 作 FH/AE 交 AD 于 H，GK 与 FH

7、相交于 C， 则 AB2 22 917 BC2 22 410 AC2 22 57 SSSSS ABCABEACGBCFEGCF矩形 1 2 917 1 2 57 1 2 41047 11 小结：小结：此题巧妙解法的关键是“妙作”图形， “活用”勾股定理。 例 2. 求证：直角三角形中，斜边上的高与斜边的和大于两直角边之和 已知：如下图，在ABC 中，A90，AD BC，垂足为 D 求证：ADBCABAC A B D C 分析：分析：要证不等式两端均为两线段之和，所以考虑构造线段和（差）转化为证两线段 的不等问题。 思路一：思路一：构造线段和把结论中的分散线段相应集中为直角三角形的边，利用直角三

8、角 形斜边大于直角边解决问题。 证明一：证明一：如下图，延长 AC 至 E，使 CEAB 延长 BC 至 F，使 CFAD 连结 BE、EF 则 ADBCBF，ABACAE 41429023， 13 又 ABCEADCF， ABDCEF SAS() FADB90 EFBD 又BFBEEF 222 ，AEBEAB 222 而ABBDEF BFAE 22 BFAE ADBCABAC 思路二：思路二：通过构造线段差把结论中的分散线段相应集中为直角三角形的边，利用直角 三角形斜边大于直角边解决问题。 证明二：证明二：如下图，在 BC 上截取 BEBA 作EF AC于 F，则 ECBCAB 且 12 又

9、 132490 34 Rt ADERt AFE AAS() ADAF FCACAFACAD 而在Rt EFC中，ECEF BCABACAD BCADABAC 小结：小结：以上两种方法叫做“构造法” 。 思路三：思路三：应用面积与勾股定理通过运算证明，较简明。 证明三：证明三：设 ABc，ACb，BCa，ADh 则abc 222 ， 1 2 1 2 ahbc ()()ahahahbcbch 222222 22 ()()bchbc 222 即()()ahbc 22 ahbc 即BCADABAC 思路四：思路四：还可用类似证明二的方法用构造法证明。 证明四：证明四：如图，在 CB 上截取 CEAB，

10、在 CA 截取 CFAD 则 BEBCAB，AFACAD来源:学|科|网 Z|X|X|K 连结 EF，过 E 作 EG/AC 交 AB 于 G BADCCFADCEAB， ABDCEF - 5 - EFCBDA90 四边形 AGEF 为长方形 AFGEAGE，90 在Rt BEG中，BEEG来源:学科网 ZXXK BCABACAD 即ADBCABAC 思路五：思路五：思路三还可以用分析法证明。 证明五：证明五：欲证ahbc ahbc00， 只需证明ahahbcbc 2222 22 abcahbc 222 22， 只需证明h20 h20显然是成立的 ahbc成立 ADBCABAC 例 3. 如下

11、图，O 为正三角形 ABC 的中心，你能用旋转的方法将ABC 分成面积相等的 三部分吗？如果能，请设计出分割方案，并画出示意图。 A O B C 分析：分析：由于正三角形是旋转对称图形，并且将它绕其中心旋转 120，240后均能与 自身重合，故其分割线绕中心旋转 120，240后能彼此重合，由此，我们可先画出一条 分割线，再作出它绕中心旋转 120，240后的图形，即可将ABC 分成形状、大小完 全相同的三部分，显然也就将其面积三等分，此题“妙”在先画出一条分割线， “巧”在这 条分割线的画法。 本题答案不唯一，下面给出三种分法，同学们还可以考虑更多的分法。 解法解法 1：连结 OA、OB、O

12、C，如图甲所示 A O B C 甲 解法解法 2：在 AB 上任取一点 D，将 D 点分别绕点 O 旋转 120和 240，得到 D1，D2，连结 OD，OD1，OD2即得如图乙所示。 A D2 O D B D1 C 乙 解法解法 3：在解法 2 中，用相同的曲线连接 OD，OD1，OD2即得如丙图所示。 例 4. 如下图，已知等边三角形 ABC 与等边CDE，A、B、D 在同一直线上，一只小蚂 蚁由 C 经 B 到达 D 点，一只大蚂蚁由 B 直接到达 E 点，请问：哪个走的路程较远？ E C A B D 分析：分析：本题实际上是比较线段 CBBD 与 BE 的长度的大小，要比较两条线段的和

13、与 一条线段之间的长短，一种方法是补短法，另一种方法是截长法，这两种方法在前面的知 识讲座中已经详细讲过，这里不再复述。 此题的巧妙之处能够将蚂蚁的行程大小的比较转化为两条线段的和与一条线段的长短 比较问题，下面我们仅举补短法来证明。 证明：证明：ABC 和CDE 是等边三角形 CACBCECDACBDCE，60 ACDBCE ACDBCE SAS() 来源:Zxxk.Com ADBEABBDCBBD 即BECBBD 两只蚂蚁所走的路程一样远。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 一. 填空题 1. 如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确 的命题

14、（只需写出一种情况） _ AEADABACOBOC BC - 7 - 2. 已知如下图，DC/AB，且 DCAE，E 为 AB 的中点，观察图形，在不添加辅助线的 情况下，请写出三个与AED 的面积相等的三角形。 3. 直角三角形的周长为33，斜边上的中线长等于 1，则两直角边长分别为_ 4. 在Rt ABC中，CD 是斜边 AB 上的高，BC3，AC4，则 CD_，BD_ 5. 如下图所示，在ABC 中，ACB90，ACAE，BFBC，则ECF等于 _ 来源:学科网 ZXXK 6. 如下图所示，已知 12，AC BC，BD4，CE AD，2CEAC，则 CD（ ） 7. 如下图，在ABC 中，A30，B45，AC 2 2 ，则 BC_ 8. 在ABC 中，AB 3，AC4，A60，则ABC 的面积为_ 9. 在锐角ABC 中，已知两边 a1，b3，那么第三边的变化范围是_ 10. 如下图，在正方形 ABCD 中，AE BD于 E，Scm ABCD矩形 40 2 ， SS ABEDBA : 15：，则 AE_cm 二. 如下图所示，在ABC 中，ACB90，点 O 是ABC 内